Calcule a integral:
integral1^2(t^2 imath+t raizt-1 jmath+t sen(pi t) k) d t;

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular a integral vetorial
integral1^2l(t^2,vecimath + traizt-1,vecjmath + tsin(pi t),vec kr),dt.
O conteúdo é integração componente a componente de funções de t. Vamos aplicar integração direta na primeira componente, substituição na segunda e integração por partes na terceira.

Passo 2

Integramos a componente vecimath:
integral1^2t^2,dt = [t^33]1^2 = 2^33 - 1^33 = 73

Passo 3

Para a componente vecjmath fazemos u = t-1, então t = u+1, du = dt, limites t=1to u=0, t=2to u=1. Assim
integral1^2traizt-1,dt = integral0^1(u+1)raizu,du = integral0^1l(u^3/2 + u^1/2r),du = [u^5/25/2 + u^3/23/2]0^1 = 25 + 23 = 1615

Passo 4

Para a componente vec k usamos integração por partes:
u = t, dv = sin(pi t),dt
Rightarrow du = dt, v = -cos(pi t)pi.
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integral tsin(pi t),dt = u,v - integral v,du = -tcos(pi t)pi + integral cos(pi t)pi,dt = -tcos(pi t)pi + sin(pi t)pi^2
Avaliando de 1 a 2:
(-2cos(2pi)pi + sin(2pi)pi^2) - (-1cos(pi)pi + sin(pi)pi^2) = -2pi - 1pi = -3pi

Resposta

integral1^2l(t^2,vecimath + traizt-1,vecjmath + tsin(pi t),vec kr),dt = 73,vecimath + 1615,vecjmath - 3pi,vec k

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