Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
O conteúdo envolve o critério de Leibniz para séries alternadas (que exige termos positivos decrescentes tendendo a zero) e também a verificação de convergência absoluta (por exemplo, usando o teste da razão).
Passo 2
Definimos o termo positivo
Primeiro, verificamos o limite de
quando
. Note que
então
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
suficientemente grande. Use o quociente
Logo, a partir de algum
,
. Assim
é decrescente (eventualmente) e tende a zero.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, uma série alternada com termos positivos
decrescentes e
é convergente (pelo menos condicionalmente). Portanto
converge.
Passo 5
Verificamos agora a convergência absoluta, analisando
. Usamos novamente o teste da razão:
Como
, a série
converge, logo a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge).