Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^n1+3^2 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1,3^n1+3^2n
O conteúdo envolve o critério de Leibniz para séries alternadas (que exige termos positivos decrescentes tendendo a zero) e também a verificação de convergência absoluta (por exemplo, usando o teste da razão).

Passo 2

Definimos o termo positivo
an = 3^n1+3^2n
Primeiro, verificamos o limite de an quando ntoinfty. Note que
an = 3^n1+9^n = 3^n9^nl(3^-2n+1r) = 13^nl(1+3^-2nr),
então
limntoinftyan = limntoinfty13^n(1+3^-2n) = 0

Passo 3

Mostramos que (an) é decrescente para n suficientemente grande. Use o quociente
an+1an = 3^n+1/(1+9^n+1)3^n/(1+9^n) =3;1+9^n1+9^n+1 =3;1+9^n1+9cdot9^n longrightarrow 39=tfrac13<1
Logo, a partir de algum N, an+1<an. Assim (an) é decrescente (eventualmente) e tende a zero.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, uma série alternada com termos positivos an decrescentes e anto0 é convergente (pelo menos condicionalmente). Portanto
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Passo 5

Verificamos agora a convergência absoluta, analisando
sumn=1^infty|(-1)^n+1an| = sumn=1^infty an. Usamos novamente o teste da razão:
L = limntoinftyan+1an = tfrac13 <1
Como L<1, a série sum an converge, logo a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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