Ache o limite:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3}\left(x^{2}+2\right).
Informações dadas:
  • A função cuja vez é avaliada é x \mapsto x^{2}+2.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=3.
  • A única pergunta: encontrar o valor do limite quando x tende a 3.

Passo 2

Vamos entender o que significa esse limite e qual regra vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
O conceito intuitivo de limite: dizer que
\lim_{x\to 3} f(x)=L
significa que, quando x fica cada vez mais próximo de 3, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Se a função for contínua em 3, então o limite quando x\to3 é simplesmente o valor da função em 3, isto é, f(3).
Regras práticas que usamos (leis de limite, muito usadas em provas):
  • A soma de limites é o limite da soma: \lim_{x\to a} (g(x)+h(x)) = \lim_{x\to a} g(x) + \lim_{x\to a} h(x),desde que os limites existam.
  • O limite de uma potência é a potência do limite (para potências inteiras positivas): \lim_{x\to a} (g(x))^{n} = \left(\lim_{x\to a} g(x)\right)^{n}.
  • Uma constante tem limite igual a ela própria: \lim_{x\to a} C = C.
Polinômios (como x^{2}+2) são funções contínuas em todo lugar, portanto vale a regra da substituição direta: o limite quando x\to 3 é o valor da função em 3.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso, passo a passo:
Primeiro separe a expressão em duas partes: x^{2} e 2. Então
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}+2\right) = \lim_{x\to 3} x^{2} \;+\; \lim_{x\to 3} 2.
Calcule cada limite:
  • Para a parte x^{2}, use a regra da potência: \lim_{x\to 3} x^{2} = \left(\lim_{x\to 3} x\right)^{2} = 3^{2}.Aqui fizemos primeiro \lim_{x\to3} x = 3 (porque a função identidade é contínua) e depois elevamos ao quadrado.
  • Para a constante 2: \lim_{x\to 3} 2 = 2.
Agora junte:
\lim_{x\to 3}\left(x^{2}+2\right) = 3^{2} + 2 = 9 + 2.
Faça a conta final:
9 + 2 = 11.

Passo 4

Interpretação final e dica para prova: como x^{2}+2 é um polinômio (função contínua), na prática em questões parecidas você pode usar substituição direta: calcule f(3). Se tiver dúvida, aplique as leis de limite (soma, produto, potência) como fizemos. Isso evita formalismos e é seguro para polinômios, racionais (quando denominador não zera), expoentes inteiros etc.
Força aí — essa é daquelas que você resolve rapidinho na prova!

Resposta

11

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