Exercício 2.2.10. Seja n um inteiro positivo. Prove por indução que:
.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro positivo
e pede que se prove por indução que a expressão
é verdadeira para todo inteiro positivo
. Ou seja, preciso mostrar que para todo
existe um inteiro tal que
é múltiplo de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável é
, que varia pelos inteiros positivos. - A afirmação a provar é a divisibilidade por
de . - O enunciado pede especificamente um argumento por indução.
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (indução matemática), passo a passo e intuitiva:
- O princípio da indução funciona assim: primeiro verifica-se o caso inicial (base), normalmente para
. Em seguida assume-se que a propriedade vale para um inteiro genérico (isso chama-se hipótese de indução). Usando essa hipótese, prova-se que a propriedade vale também para . Se ambos os passos forem feitos, a propriedade vale para todo . - Aqui a propriedade a ser chamada
é: " divide ". Vou seguir exatamente a sequência: (i) mostrar , (ii) assumir e (iii) deduzir .
Passo 3
Base da indução: verificar
.
Calcular a expressão para :
Calcular a expressão para
Como
é múltiplo de
, temos
. Assim,
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para um inteiro positivo arbitrário
a propriedade seja verdadeira. Ou seja, existe um inteiro
tal que
Aqui
depende de
, e a igualdade diz exatamente que
é divisível por
.
Passo 5
Objetivo do passo indutivo: partir da hipótese acima mostrar que
Vou manipular
usando a hipótese.
Passo 6
Transformação algébrica da expressão para
. Primeiro usar que
Portanto
Agora reescrever essa expressão de modo a usar a hipótese
. Observe:
Esta identidade vale porque ao desenvolver o lado direito tem-se
, que é o lado esquerdo.
Passo 7
Substituir a hipótese de indução na expressão do passo anterior. Pela hipótese
, temos:
Aqui
é um inteiro (soma e produto de inteiros), logo a expressão inteira é
vezes um inteiro.
Passo 8
Conclusão do passo indutivo: da igualdade do passo anterior segue que
divide
. Assim
fica demonstrado.
Passo 9
Conclusão final pela indução: como
é verdadeira (passo 3) e
foi provado (passos 4–8), pelo princípio da indução matemática concluímos que
é verdadeira para todo inteiro positivo
. Ou seja, para todo
vale
Passo 10
Exemplos rápidos para ganhar confiança:
- Para
: , múltiplo de . - Para
: , múltiplo de .
Esses exemplos batem com a prova por indução e ajudam a ver o padrão na prática — a expressão é sempreetc., sempre múltiplo de .