Exercício 2.2.10. Seja n um inteiro positivo. Prove por indução que:
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro positivo n e pede que se prove por indução que a expressão
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}
é verdadeira para todo inteiro positivo n. Ou seja, preciso mostrar que para todo n\in\mathbb{N} existe um inteiro tal que 2^{n}+(-1)^{n+1} é múltiplo de 3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável é n, que varia pelos inteiros positivos.
  • A afirmação a provar é a divisibilidade por 3 de 2^{n}+(-1)^{n+1}.
  • O enunciado pede especificamente um argumento por indução.

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (indução matemática), passo a passo e intuitiva:
  • O princípio da indução funciona assim: primeiro verifica-se o caso inicial (base), normalmente para n=1. Em seguida assume-se que a propriedade vale para um inteiro genérico k (isso chama-se hipótese de indução). Usando essa hipótese, prova-se que a propriedade vale também para k+1. Se ambos os passos forem feitos, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Aqui a propriedade a ser chamada P(n) é: " 3 divide 2^{n}+(-1)^{n+1}". Vou seguir exatamente a sequência: (i) mostrar P(1), (ii) assumir P(k) e (iii) deduzir P(k+1).

Passo 3

Base da indução: verificar P(1).
Calcular a expressão para n=1:
2^{1}+(-1)^{1+1}=2+(-1)^{2}=2+1=3.
Como 3 é múltiplo de 3, temos 3 \mid 2^{1}+(-1)^{2}. Assim, P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para um inteiro positivo arbitrário k a propriedade seja verdadeira. Ou seja, existe um inteiro m tal que
2^{k}+(-1)^{k+1}=3m.
Aqui m depende de k, e a igualdade diz exatamente que 2^{k}+(-1)^{k+1} é divisível por 3.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo: partir da hipótese acima mostrar que
3 \mid 2^{k+1}+(-1)^{k+2}.
Vou manipular 2^{k+1}+(-1)^{k+2} usando a hipótese.

Passo 6

Transformação algébrica da expressão para k+1. Primeiro usar que
(-1)^{k+2}=(-1)^{k+1}\cdot(-1)=-(-1)^{k+1}.
Portanto
2^{k+1}+(-1)^{k+2}=2\cdot 2^{k}-(-1)^{k+1}.
Agora reescrever essa expressão de modo a usar a hipótese 2^{k}+(-1)^{k+1}=3m. Observe:
2\cdot 2^{k}-(-1)^{k+1}=2\bigl(2^{k}+(-1)^{k+1}\bigr)-3(-1)^{k+1}.
Esta identidade vale porque ao desenvolver o lado direito tem-se 2\cdot 2^{k}+2(-1)^{k+1}-3(-1)^{k+1}=2\cdot 2^{k}-(-1)^{k+1}, que é o lado esquerdo.

Passo 7

Substituir a hipótese de indução na expressão do passo anterior. Pela hipótese 2^{k}+(-1)^{k+1}=3m, temos:
2^{k+1}+(-1)^{k+2}=2\bigl(3m\bigr)-3(-1)^{k+1}=3\bigl(2m-(-1)^{k+1}\bigr).
Aqui 2m-(-1)^{k+1} é um inteiro (soma e produto de inteiros), logo a expressão inteira é 3 vezes um inteiro.

Passo 8

Conclusão do passo indutivo: da igualdade do passo anterior segue que 3 divide 2^{k+1}+(-1)^{k+2}. Assim P(k)\Rightarrow P(k+1) fica demonstrado.

Passo 9

Conclusão final pela indução: como P(1) é verdadeira (passo 3) e P(k)\Rightarrow P(k+1) foi provado (passos 4–8), pelo princípio da indução matemática concluímos que P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. Ou seja, para todo n\in\mathbb{N} vale
3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1}.

Passo 10

Exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Para n=2: 2^{2}+(-1)^{3}=4-1=3, múltiplo de 3.
  • Para n=3: 2^{3}+(-1)^{4}=8+1=9, múltiplo de 3.
    Esses exemplos batem com a prova por indução e ajudam a ver o padrão na prática — a expressão é sempre 3,3,9,3,27,\dots etc., sempre múltiplo de 3.

Resposta

3 \mid 2^{n}+(-1)^{n+1} para todo n\in\mathbb{N}

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