Seja C a curva dada pela equação (x-3)^{2}+y^{2}=1, \quad y \geq 0, orientada de (4,0) a (2,0). Utilize o Teorema de Green para calcular
\int_{C}\left(e^{x} \sin y-2 y-\pi\right) d x+\left(e^{x} \cos y+e^{y}\right) d y

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C definida por
(x-3)^{2}+y^{2}=1,\qquad y\ge 0,
orientada de (4,0) a (2,0). Ou seja, é o semicírculo superior de centro (3,0) e raio 1, percorrido do ponto à direita (4,0) até o ponto à esquerda (2,0).
A integral de linha pedida é
\int_{C}\bigl(e^{x}\sin y-2y-\pi\bigr)\,dx+\bigl(e^{x}\cos y+e^{y}\bigr)\,dy.
Vou chamar
P(x,y)=e^{x}\sin y-2y-\pi,\qquad Q(x,y)=e^{x}\cos y+e^{y}.

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Green, que exige uma curva fechada e positivamente orientada (contorno da região). A curva C não é fechada – é só o semicírculo superior. Para aplicar Green fechamos C adicionando o segmento C_1 ao longo do eixo x que vai de (2,0) a (4,0). Assim o contorno fechado \partial D é formado por C (do ponto (4,0) a (2,0) pelo arco superior) seguido por C_1 (do ponto (2,0) a (4,0) pela linha reta). Essa orientação é a orientação positiva (no sentido anti-horário) do semidisco D (o interior acima do eixo).
Portanto
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+\int_{C_1}P\,dx+Q\,dy.

Passo 3

Enunciando o Teorema de Green (forma que usaremos): se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém D e seu contorno \partial D, então
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
Aqui D é o semidisco de raio 1 centrado em (3,0). Vou verificar as derivadas parciais e calcular o lado direito.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y+e^{y}\bigr)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y-2y-\pi\bigr)=e^{x}\cos y-2.
Subtraindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y-\bigl(e^{x}\cos y-2\bigr)=2.
Logo a integranda do duplo integral é a constante 2. (Momento feliz: os termos com e^{x}\cos y se cancelam.)

Passo 5

Calcular o duplo integral sobre D:
\iint_{D}2\,dA=2\cdot\text{Área}(D).Á
A região D é um semicírculo de raio 1, então
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 1^{2}=\tfrac{\pi}{2}.Á
Portanto
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=2\cdot \tfrac{\pi}{2}=\pi.

Passo 6

Agora precisamos remover a contribuição do segmento extra C_1 para obter a integral apenas sobre C. Parametrização de C_1: y=0, x varia de 2 a 4. Nessa reta temos dy=0 e
P(x,0)=e^{x}\sin 0-2\cdot 0-\pi=-\pi.
Assim
\int_{C_1}P\,dx+Q\,dy=\int_{x=2}^{4}(-\pi)\,dx=-\pi\bigl(4-2\bigr)=-2\pi.
(Repare que Q\,dy é zero porque dy=0.)

Passo 7

Usando \oint_{\partial D}=\int_{C}+\int_{C_1}, temos
\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy-\int_{C_1}P\,dx+Q\,dy=\pi-(-2\pi)=3\pi.
Portanto a integral pedida sobre C vale 3\pi. Vamos lá, deu certinho — ficou uma integração bem curta graças ao cancelamento!

Resposta

3\pi

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