Seja
a curva dada pela equação
, orientada de
a
. Utilize o Teorema de Green para calcular
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
orientada de
a
. Ou seja, é o semicírculo superior de centro
e raio
, percorrido do ponto à direita
até o ponto à esquerda
.
A integral de linha pedida é
A integral de linha pedida é
Vou chamar
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Green, que exige uma curva fechada e positivamente orientada (contorno da região). A curva
não é fechada – é só o semicírculo superior. Para aplicar Green fechamos
adicionando o segmento
ao longo do eixo
que vai de
a
. Assim o contorno fechado
é formado por
(do ponto
a
pelo arco superior) seguido por
(do ponto
a
pela linha reta). Essa orientação é a orientação positiva (no sentido anti-horário) do semidisco
(o interior acima do eixo).
Portanto
Portanto
Passo 3
Enunciando o Teorema de Green (forma que usaremos): se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém
e seu contorno
, então
Aqui
é o semidisco de raio
centrado em
. Vou verificar as derivadas parciais e calcular o lado direito.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais:
Subtraindo:
Logo a integranda do duplo integral é a constante
. (Momento feliz: os termos com
se cancelam.)
Passo 5
Calcular o duplo integral sobre
:
A região
é um semicírculo de raio
, então
Portanto
Passo 6
Agora precisamos remover a contribuição do segmento extra
para obter a integral apenas sobre
. Parametrização de
:
,
varia de
a
. Nessa reta temos
e
Assim
(Repare que
é zero porque
.)
Passo 7
Usando
, temos
Portanto a integral pedida sobre
vale
. Vamos lá, deu certinho — ficou uma integração bem curta graças ao cancelamento!