Ache os limites ou mostre que eles não existem.
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2 t-t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2t-t^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável tende para +\infty.
  • No numerador aparecem os termos \sqrt{t} e t^{2}.
  • No denominador aparecem os termos 2t e -t^{2}.
    O que precisamos decidir: se esse quociente tem limite finito, infinito ou não existe, e calcular esse valor se existir.

Passo 2

Intuição e método que vamos usar (explicação didática):
  • Quando t\to\infty os termos com maiores potências de t dominam o comportamento das expressões racionais em t. Aqui o termo de maior ordem no numerador é t^{2} e no denominador é -t^{2}.
  • Uma maneira rigorosa e prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de t que aparece (aqui t^{2}), para tornar explícito quais termos vão para 0 quando t\to\infty.
  • Lembre que se uma função pode ser escrita como \dfrac{A(t)}{B(t)} com A(t)=t^{2}\cdot a(t) e B(t)=t^{2}\cdot b(t), então \dfrac{A(t)}{B(t)}=\dfrac{a(t)}{b(t)} e o limite quando t\to\infty é o mesmo que o de \dfrac{a(t)}{b(t)}, desde que b(t) não tenda a 0.

Passo 3

Aplicando o procedimento: dividir numerador e denominador por t^{2}. Escrevo
\frac{\sqrt{t}+t^{2}}{2t-t^{2}} = \frac{\dfrac{\sqrt{t}}{t^{2}}+\dfrac{t^{2}}{t^{2}}}{\dfrac{2t}{t^{2}}-\dfrac{t^{2}}{t^{2}}}.

Passo 4

Simplifico cada fração aparecendo no numerador e denominador:
  • \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2}} = t^{1/2-2}=t^{-3/2}.
  • \dfrac{t^{2}}{t^{2}}=1.
  • \dfrac{2t}{t^{2}}=\dfrac{2}{t}.
  • \dfrac{t^{2}}{t^{2}}=1.
    Assim a expressão fica
\frac{t^{-3/2}+1}{\tfrac{2}{t}-1}.

Passo 5

Agora tiramos o limite de cada termo quando t\to\infty:
  • \lim_{t\to\infty} t^{-3/2}=0, porque potências negativas vão para 0.
  • \lim_{t\to\infty} \dfrac{2}{t}=0.
    Portanto
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{-3/2}+1}{\tfrac{2}{t}-1}=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.

Resposta

-1

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