Ache o limite, se ele existe. Se ele não existe, explique porque.
\quad \lim _{x \rightarrow 0.5^{-}} \frac{2 x-1}{\left|2 x^{3}-x^{2}\right|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (ou decidir se existe) o limite unilaterais
\lim_{x\to 0{,}5^-}\frac{2x-1}{\left|2x^{3}-x^{2}\right|}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável tende para 0{,}5 pela esquerda ( x\to0{,}5^-), ou seja, consideramos x<0{,}5 próximos de 0{,}5.
  • O numerador é 2x-1.
  • O denominador é \left|2x^{3}-x^{2}\right|.

Passo 2

Vamos entender ferramentas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Propriedade do valor absoluto: para quaisquer números a e b vale \left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|. Em particular,
\left|2x^{3}-x^{2}\right|=\left|x^{2}(2x-1)\right|=\left|x^{2}\right|\left|2x-1\right|.
  • Como x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se \left|x^{2}\right|=x^{2}.
  • Sobre cancelamento: se uma expressão tem um fator comum no numerador e no denominador, pode-se cancelar esse fator desde que este fator não seja zero nos pontos considerados. Numa análise de limite é permitido cancelar para x\neq ponto de limite, porque o limite olha valores próximos, não o valor no ponto.
  • Limite unilateral e sinal: como estamos vindo da esquerda ( x<0{,}5), o sinal de 2x-1 em vizinhança de 0{,}5 importa — para x<0{,}5 tem 2x-1<0.

Passo 3

Aplicando as propriedades: fatoramos o denominador e substituímos \left|x^{2}\right|=x^{2}:
\frac{2x-1}{\left|2x^{3}-x^{2}\right|} =\frac{2x-1}{x^{2}\left|2x-1\right|}.
Agora analisamos o sinal de 2x-1 quando x\to0{,}5^-. Para x<0{,}5 temos 2x-1<0, então
\left|2x-1\right|=-(2x-1).
Substituindo isso na expressão (válido para todo x suficientemente próximo de 0{,}5, mas com x\neq0{,}5):
\frac{2x-1}{x^{2}\left|2x-1\right|} =\frac{2x-1}{x^{2}\bigl(-(2x-1)\bigr)} =\frac{2x-1}{-x^{2}(2x-1)}.
Como estamos considerando x\neq0{,}5, o fator (2x-1) é non-zero e pode ser cancelado:
\frac{2x-1}{-x^{2}(2x-1)}=-\frac{1}{x^{2}} \qquad\text{(para \(x\) próximo de \(0{,}5\) com \(x<0{,}5\) e \(x\neq0{,}5\)).}ó

Passo 4

Agora calculamos o limite do caso simplificado. A função -\dfrac{1}{x^{2}} é contínua em x=0{,}5, então o limite unilateral é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to 0{,}5^-}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{(0{,}5)^{2}}.
Calculando (0{,}5)^{2}=0{,}25, temos
-\frac{1}{0{,}25}=-4.

Passo 5

Interpretação final e comentário didático: embora o numerador vá a zero em x=0{,}5, o denominador também tem fator que se anula ali; o truque é usar a fatoração e o comportamento do valor absoluto para cancelar corretamente. Vindo pela esquerda, \left|2x-1\right|=-(2x-1), o que transforma a expressão numa função contínua -1/x^{2} perto de 0{,}5 (exceto no próprio ponto), permitindo avaliar o limite por substituição.

Resposta

-4

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