Calcule o limite, se ele existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
Teste rápido por substituição direta: ao pôr
temos
ou seja, a forma é
, uma indeterminação. Precisa-se simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida: eliminar a indeterminação por simplificação algébrica. Uma técnica útil aqui é usar o conjugado do numerador, porque
tem conjugado
e
Também é conveniente notar que o denominador pode ser fatorado:
Vamos usar essas identidades para cancelar o fator que causa a indeterminação.
Passo 3
Aplicando a ideia do conjugado: escrevemos
em termos de
. Pela conta anterior,
Substituindo isso na fração original e lembrando que
, obtemos, para
,
Agora o fator
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar (válido para
):
Passo 4
Após simplificação temos uma função mais simples e contínua em torno de
(exceto possivelmente em pontos onde a raiz não esteja definida, mas
é interior do domínio
). Assim podemos calcular o limite por substituição direta:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à forma
. Derivando numerador e denominador:
Aplicando L’Hôpital e avaliando em
dá
confirmando o resultado obtido por simplificação algébrica.