Calcule o limite, se ele existe.
\quad \lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to16}\frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão do numerador é 4-\sqrt{x}.
  • A expressão do denominador é 16x-x^{2}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to16.
Teste rápido por substituição direta: ao pôr x=16 temos
4-\sqrt{16}=4-4=0 \qquad\text{e}\qquad 16\cdot16-16^{2}=256-256=0,
ou seja, a forma é 0/0, uma indeterminação. Precisa-se simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida: eliminar a indeterminação por simplificação algébrica. Uma técnica útil aqui é usar o conjugado do numerador, porque 4-\sqrt{x} tem conjugado 4+\sqrt{x} e
(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})=4^{2}-(\sqrt{x})^{2}=16-x.
Também é conveniente notar que o denominador pode ser fatorado:
16x-x^{2}=x(16-x).
Vamos usar essas identidades para cancelar o fator que causa a indeterminação.

Passo 3

Aplicando a ideia do conjugado: escrevemos 4-\sqrt{x} em termos de 16-x. Pela conta anterior,
4-\sqrt{x}=\frac{16-x}{4+\sqrt{x}}\qquad (x\neq16).
Substituindo isso na fração original e lembrando que 16x-x^{2}=x(16-x), obtemos, para x\neq16,
\frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^{2}} = \frac{\dfrac{16-x}{4+\sqrt{x}}}{x(16-x)}.
Agora o fator 16-x aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar (válido para x\neq16):
\frac{\dfrac{16-x}{4+\sqrt{x}}}{x(16-x)} = \frac{1}{x(4+\sqrt{x})}.

Passo 4

Após simplificação temos uma função mais simples e contínua em torno de x=16 (exceto possivelmente em pontos onde a raiz não esteja definida, mas x=16 é interior do domínio x\ge0). Assim podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to16}\frac{1}{x(4+\sqrt{x})} = \frac{1}{16\bigl(4+\sqrt{16}\bigr)} = \frac{1}{16(4+4)} = \frac{1}{16\cdot 8} = \frac{1}{128}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital à forma 0/0. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(4-\sqrt{x}\bigr)=-\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(16x-x^{2}\bigr)=16-2x.
Aplicando L’Hôpital e avaliando em x=16
\frac{-\tfrac{1}{2\sqrt{16}}}{16-2\cdot16}=\frac{-\tfrac{1}{8}}{16-32}=\frac{-\tfrac{1}{8}}{-16}=\frac{1}{128},
confirmando o resultado obtido por simplificação algébrica.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{128}

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