Ache os limites ou mostre que eles não existem.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: expressão envolvendo logaritmos naturais de funções polinomiais. É preciso determinar se o limite existe e, se existir, seu valor (pode ser um número finito ou
ou
).
Passo 2
Usar uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos: para
e
vale
Explicação didática: o logaritmo é a função inversa da exponencial e transforma divisão em subtração. Aqui ambas as quantidades dentro dos ln são positivas para
, então podemos aplicar a propriedade sem problema.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso limite obtemos
Logo o limite pedido é
Passo 4
Agora vamos estudar o comportamento da razão
quando
. Uma forma simples e elementar é dividir numerador e denominador por
(método clássico de comparar termos dominantes):
Aqui explicando as peças: dividir por
só reorganiza a expressão; quando
temos
e
. Portanto o fator multiplicativo tende a
, isto é
Assim a razão se comporta como
ou seja, a razão tende a
porque
.
Passo 5
Para ser ainda mais direto e totalmente rigoroso usando desigualdades elementares: para
temos
e
. Logo
Como
quando
, segue que
. Esta desigualdade dá um limite inferior que diverge, garantindo que a razão não se estabiliza em um número finito.
Passo 6
Agora usamos o fato de que
é uma função monótona crescente no intervalo
: se
então
. Aplicando isso à razão que vimos divergir para
, obtemos
Explicação didática curta: como o argumento do ln cresce sem limite, o próprio ln cresce sem limite (mesma ideia de que
quando
).