Ache os limites ou mostre que eles não existem.
\quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\ln \left(1+x^{2}\right)-\ln (1+x)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left[\ln\left(1+x^{2}\right)-\ln(1+x)\right].
Informações dadas: expressão envolvendo logaritmos naturais de funções polinomiais. É preciso determinar se o limite existe e, se existir, seu valor (pode ser um número finito ou +\infty ou -\infty).

Passo 2

Usar uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos: para a>0 e b>0 vale
\ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
Explicação didática: o logaritmo é a função inversa da exponencial e transforma divisão em subtração. Aqui ambas as quantidades dentro dos ln são positivas para x>-1, então podemos aplicar a propriedade sem problema.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso limite obtemos
\ln\left(1+x^{2}\right)-\ln(1+x)=\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right).
Logo o limite pedido é
\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right).

Passo 4

Agora vamos estudar o comportamento da razão \dfrac{1+x^{2}}{1+x} quando x\to\infty. Uma forma simples e elementar é dividir numerador e denominador por x (método clássico de comparar termos dominantes):
\frac{1+x^{2}}{1+x} = \frac{x\left(\dfrac{1}{x}+x\right)}{x\left(\dfrac{1}{x}+1\right)} = \frac{\dfrac{1}{x}+x}{\dfrac{1}{x}+1} = x\cdot\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}}.
Aqui explicando as peças: dividir por x só reorganiza a expressão; quando x\to\infty temos \dfrac{1}{x}\to0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to0. Portanto o fator multiplicativo tende a 1, isto é
\frac{1+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}}\longrightarrow 1, \qquad\text{quando }x\to\infty.
Assim a razão se comporta como
\frac{1+x^{2}}{1+x}\sim x \quad\text{quando }x\to\infty,
ou seja, a razão tende a +\infty porque x\to\infty.

Passo 5

Para ser ainda mais direto e totalmente rigoroso usando desigualdades elementares: para x\ge 1 temos 1+x^{2}\ge x^{2} e 1+x\le 2x. Logo
\frac{1+x^{2}}{1+x}\ge \frac{x^{2}}{2x}=\frac{x}{2}.
Como \dfrac{x}{2}\to\infty quando x\to\infty, segue que \dfrac{1+x^{2}}{1+x}\to\infty. Esta desigualdade dá um limite inferior que diverge, garantindo que a razão não se estabiliza em um número finito.

Passo 6

Agora usamos o fato de que \ln é uma função monótona crescente no intervalo (0,\infty): se t\to\infty então \ln t\to\infty. Aplicando isso à razão que vimos divergir para +\infty, obtemos
\lim_{x\to\infty}\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{1+x}\right)=+\infty.
Explicação didática curta: como o argumento do ln cresce sem limite, o próprio ln cresce sem limite (mesma ideia de que \ln x\to\infty quando x\to\infty).

Resposta

+\infty

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