Ache os limites ou mostre que eles não existem.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A variável tende para
. - Temos uma raiz quadrada no numerador e um polinômio no denominador.
- Não há imagens ou dados extras.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando
aparecem potências de
muito grandes. Para comparar numerador e denominador é conveniente fatorar a maior potência de
que aparece (aqui é
) para ver claramente os termos dominantes. Isso evita manipulações vagas do tipo “é parecido com…”. Vamos usar limites básicos e a continuidade da função
.
Passo 3
Observação sobre sinais: como
estamos considerando
para
suficientemente grande, logo
. Então podemos escrever
(Justificativa rápida:
, porque para
vale
.)
Passo 4
Fatorando
também no denominador:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 5
Agora aplicamos propriedades de limites e a continuidade de
:
-
quando , logo . - A função
é contínua em , logo . -
quando , então .
Como o limite do numerador é
e o limite do denominador é
(denominador não se anula no limite), o quociente tende a
Passo 6
Conclusão e observação final: o limite existe e é
. Intuitivamente, o numerador cresce como
(pois
) e o denominador cresce como
, daí a razão tende para
.
Exemplo rápido para fixar:
, porque
quando
.