Ache os limites ou mostre que eles não existem.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1+4 x^{6}}}{2-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+4x^{6}}}{2-x^{3}}.
Informações dadas:
  • A variável tende para +\infty.
  • Temos uma raiz quadrada no numerador e um polinômio no denominador.
  • Não há imagens ou dados extras.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando x\to\infty aparecem potências de x muito grandes. Para comparar numerador e denominador é conveniente fatorar a maior potência de x que aparece (aqui é x^{3}) para ver claramente os termos dominantes. Isso evita manipulações vagas do tipo “é parecido com…”. Vamos usar limites básicos e a continuidade da função \sqrt{\cdot}.

Passo 3

Observação sobre sinais: como x\to\infty estamos considerando x>0 para x suficientemente grande, logo x^{3}>0. Então podemos escrever
\sqrt{1+4x^{6}}=x^{3}\sqrt{4+\frac{1}{x^{6}}}.
(Justificativa rápida: \sqrt{1+4x^{6}}=\sqrt{x^{6}\left(\dfrac{1}{x^{6}}+4\right)}=\sqrt{x^{6}}\sqrt{4+\dfrac{1}{x^{6}}}=x^{3}\sqrt{4+\dfrac{1}{x^{6}}}, porque para x>0 vale \sqrt{x^{6}}=x^{3}.)

Passo 4

Fatorando x^{3} também no denominador:
2-x^{3}=x^{3}\left(\frac{2}{x^{3}}-1\right).
Portanto a expressão do limite fica
\frac{\sqrt{1+4x^{6}}}{2-x^{3}} =\frac{x^{3}\sqrt{4+\dfrac{1}{x^{6}}}}{x^{3}\left(\dfrac{2}{x^{3}}-1\right)} =\frac{\sqrt{4+\dfrac{1}{x^{6}}}}{\dfrac{2}{x^{3}}-1}.

Passo 5

Agora aplicamos propriedades de limites e a continuidade de \sqrt{\cdot}:
  • \dfrac{1}{x^{6}}\to 0 quando x\to\infty, logo 4+\dfrac{1}{x^{6}}\to 4.
  • A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=4, logo \sqrt{4+\dfrac{1}{x^{6}}}\to\sqrt{4}=2.
  • \dfrac{2}{x^{3}}\to 0 quando x\to\infty, então \dfrac{2}{x^{3}}-1\to -1.
Como o limite do numerador é 2 e o limite do denominador é -1 (denominador não se anula no limite), o quociente tende a
\frac{2}{-1}=-2.

Passo 6

Conclusão e observação final: o limite existe e é -2. Intuitivamente, o numerador cresce como 2x^{3} (pois \sqrt{1+4x^{6}}\sim 2x^{3}) e o denominador cresce como -x^{3}, daí a razão tende para -2.
Exemplo rápido para fixar: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{1+9x^{2}}}{x}=3, porque \sqrt{1+9x^{2}}\sim 3x quando x\to\infty.

Resposta

-2

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