Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\operatorname{sen} x^{2}}{x^{2}} \text { se } x \neq 0 \\\ \text { a se } x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\sin(x^{2})}{x^{2}},&x\neq0,\\\ a,&x=0, \end{cases}
e pede o valor de a para que f seja contínua em x=0. O conteúdo usado será limite de função e o famoso limite notável
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=0, é necessário que
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=a.
Calculamos o limite à esquerda substituindo u=x^{2}. Quando x\to0, temos u\to0 (positivo ou negativo não faz diferença para o notável). Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^{2})}{x^{2}} =\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} =1.

Passo 3

Para garantir continuidade em x=0, escolhemos
a=\lim_{x\to0}f(x)=1.

Resposta

a=1

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