1. Ache um número real b de modo que a função
f(x)=cl -32 x+5, & x <= 2 -x^2+b x+(1-b), & x>2
seja contínua em x=2. Para este valor de b, f é contínua em R ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -tfrac32x+5,&x<=2, -x^2+bx+(1-b),&x>2
e pede valor de b para que f seja contínua em x=2. Para isso vamos usar o fato de que uma função é contínua em um ponto quando os limites lateral esquerdo e direito coincidem e igualam ao valor da função nesse ponto. Também sabemos que polinômios e funções lineares são contínuos em todo R.

Passo 2

Calculamos o valor à esquerda de 2, que é também f(2) pela definição em x<=2:
f(2)= -tfrac32cdot2 + 5 = -3 + 5 = 2

Passo 3

Calculamos o limite pela direita de 2 usando a expressão para x>2:
limxto2^+f(x) = limxto2^+l(-x^2+bx+(1-b)r) = -(2)^2 + bcdot2 + (1-b) = -4 + 2b + 1 - b = b - 3

Passo 4

Para garantir continuidade em x=2, igualamos os dois resultados:
b - 3 = 2 Longrightarrow b = 5

Passo 5

Com b=5, ambas as definições de f são contínuas em seus domínios (são polinômios ou reta) e combinam sem “salto” em x=2. Logo f é contínua em todo R.

Resposta

b=5. Para este valor, f é contínua em R.

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