- Sejam
e
funções contínuas em
tais que
,
e
.
(a) Calcule
;
(b) Calcule
e
;
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe
tal que
.
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe
Passo 1
O enunciado fala de duas funções contínuas em
, com limites laterais conhecidos em
e em
. Precisamos usar:
– Para (a), propriedades de limite e fatoração de polinômios.
– Para (b), continuidade em extremos de intervalo, que garante , etc.
– Para (c), o Teorema do Valor Intermediário aplicado à função .
– Para (a), propriedades de limite e fatoração de polinômios.
– Para (b), continuidade em extremos de intervalo, que garante
– Para (c), o Teorema do Valor Intermediário aplicado à função
Passo 2
Queremos
Note que
Como
, temos
Passo 3
Pela continuidade em
vale
logo
De modo análogo, pela continuidade em
,
então
Passo 4
Defina
. Como
e
são contínuas,
também é contínua em
. Temos
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
. Assim
Resposta
(a)
(b) e
(c) Existe tal que
.
(b)
(c) Existe