1. Sejam f e g funções contínuas em [-2 ; 5] tais que lim x -2^+ f(x)=7, lim x -2^+ g(x)=2, lim x 5^- f(x)=4 e lim x 5^- g(x)=5.
    (a) Calcule lim x 5^- g^2(x)-25g(x)-5;
    (b) Calcule (g-f)(-2) e (g-f)(5);
    (c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c in R tal que f(c)=g(c).

Passo 1

O enunciado fala de duas funções contínuas em [-2,5], com limites laterais conhecidos em -2 e em 5. Precisamos usar:
– Para (a), propriedades de limite e fatoração de polinômios.
– Para (b), continuidade em extremos de intervalo, que garante f(-2)=limxto-2^+f(x), etc.
– Para (c), o Teorema do Valor Intermediário aplicado à função h(x)=g(x)-f(x).

Passo 2

Queremos
limxto5^-g^2(x)-25g(x)-5
Note que
g^2(x)-25g(x)-5 =(g(x)-5)(g(x)+5)g(x)-5 =g(x)+5
Como limxto5^-g(x)=5, temos
limxto5^-l(g(x)+5r)=5+5=10

Passo 3

Pela continuidade em -2 vale
f(-2)=limxto-2^+f(x)=7, g(-2)=limxto-2^+g(x)=2,
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(g-f)(-2)=2-7=-5
De modo análogo, pela continuidade em 5,
f(5)=limxto5^-f(x)=4, g(5)=limxto5^-g(x)=5,
então
(g-f)(5)=5-4=1

Passo 4

Defina h(x)=g(x)-f(x). Como f e g são contínuas, h também é contínua em [-2,5]. Temos
h(-2)=(g-f)(-2)=-5<0, h(5)=(g-f)(5)=1>0
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-2,5) tal que h(c)=0. Assim
g(c)-f(c)=0 Longrightarrow f(c)=g(c)

Resposta

(a) 10
(b) (g-f)(-2)=-5 e (g-f)(5)=1
(c) Existe cin(-2,5) tal que f(c)=g(c).

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