Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=t^{3}+10 t^{2}-25 t-50;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os números críticos da função dada. A função fornecida é
f(t)=t^{3}+10t^{2}-25t-50.
Informações relevantes:
  • A função é um polinômio de grau 3.
  • Precisamos listar todos os números críticos, isto é, todos os valores de t onde a derivada f'(t) é zero ou onde f'(t) não está definida.

Passo 2

O que é um número crítico (em linguagem bem direta)?
  • Um número crítico de f é qualquer t tal que f'(t)=0 ou tal que f'(t) não existe.
    Para polinômios a derivada existe em todo lugar, então aqui só precisamos resolver f'(t)=0.
Agora vamos calcular a derivada passo a passo usando a regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}.
  • Derivada de t^{3} é 3t^{2}.
  • Derivada de 10t^{2} é 10\cdot 2t = 20t.
  • Derivada de -25t é -25.
  • Derivada de -50 (constante) é 0.
Portanto a derivada é
f'(t)=3t^{2}+20t-25.

Passo 3

Agora resolvemos a equação f'(t)=0, ou seja
3t^{2}+20t-25=0.
Isto é uma equação quadrática. Para resolver uma quadrática at^{2}+bt+c=0 usamos a fórmula:
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui temos a=3, b=20, c=-25.

Passo 4

Calcular o discriminante D=b^{2}-4ac:
D=20^{2}-4\cdot 3\cdot(-25)=400-4\cdot3\cdot(-25)=400+300=700.
A raiz quadrada é \sqrt{D}=\sqrt{700}=\sqrt{100\cdot 7}=10\sqrt{7}.
Aplicando a fórmula:
t=\frac{-20\pm 10\sqrt{7}}{2\cdot 3}=\frac{-20\pm 10\sqrt{7}}{6}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
t=\frac{-10\pm 5\sqrt{7}}{3}.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação:
  • A derivada é um polinômio, logo está definida para todo t. Não há pontos onde f'(t) é indefinida.
  • Portanto os únicos números críticos são as duas raízes encontradas acima.
    Se quiser, dá para ver aproximando numericamente \sqrt{7}\approx 2,6458, então as raízes aproximadas são t\approx 1{,}076 e t\approx -7{,}743, mas a forma exata é preferível na prova.

Resposta

\displaystyle t=\frac{-10+5\sqrt{7}}{3}
\displaystyle t=\frac{-10-5\sqrt{7}}{3}

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