(20pts) 5) Considere o anel A=\mathbb{Z} e o seu ideal I=5 \mathbb{Z} com adição e multiplicação usuais dos inteiros. Liste todos os elementos do anel-quociente A / I e, entre os elementos listados, determine os resultados das operações x+y, x, y, x^{-1} e y^{2}, onde x=4+I e y=2+I.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • O anel é A=\mathbb{Z}.
  • O ideal é I=5\mathbb{Z}.
  • Deve-se listar todos os elementos do anel-quociente A/I.
  • Devem-se determinar os resultados das operações pedidas envolvendo x e y, onde x=4+I e y=2+I. As operações que vou calcular são x+y, x\cdot y, x^{-1} (se existir) e y^{2}.

Passo 2

O que é um elemento de A/I e como listar todos:
  • Um elemento de A/I é uma classe lateral (coset) da forma a+I=\{a+5k:\,k\in\mathbb{Z}\}.
  • Dois inteiros a,b representam a mesma classe se e somente se a\equiv b\pmod{5}.
  • Portanto há exatamente cinco classes distintas (os restos módulo 5). Listando-as:
0+I,\;1+I,\;2+I,\;3+I,\;4+I.
Essas são todas as classes possíveis, porque todo inteiro tem resto 0,1,2,3 ou 4 ao dividir por 5.

Passo 3

Como se somam e multiplicam classes (a regra prática):
  • Regra de soma: para quaisquer a,b\in\mathbb{Z},
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I.
Isto significa que soma-se representantes e depois toma-se a classe (ou, equivalentemente, soma-se restos mod 5).
  • Regra de produto:
(a+I)(b+I)=(ab)+I.
Multiplica-se representantes e toma-se a classe (ou produto dos restos mod 5).
  • Observação útil: trabalhar em A/I é o mesmo que trabalhar com restos módulo 5. Vou de agora em diante substituir cada classe por seu representante em \{0,1,2,3,4\}.

Passo 4

Cálculo de x+y com x=4+I e y=2+I:
  • Soma dos representantes: 4+2=6.
  • Reduzindo módulo 5: 6\equiv 1\pmod{5}.
  • Logo
x+y=(4+I)+(2+I)=(6)+I=1+I.

Passo 5

Cálculo de x\cdot y:
  • Produto dos representantes: 4\cdot2=8.
  • Reduzindo módulo 5: 8\equiv 3\pmod{5}.
  • Logo
x\cdot y=(4+I)(2+I)=8+I=3+I.

Passo 6

Existência e cálculo de x^{-1} (inverso multiplicativo de x):
  • Critério geral: uma classe a+I tem inverso em A/I se e somente se \gcd(a,5)=1. Como 5 é primo, todas as classes com representante diferente de 0 são invertíveis.
  • Aqui x=4+I tem \gcd(4,5)=1, logo é unidade.
  • Para achar o inverso, procura-se b\in\{1,2,3,4\} tal que 4b\equiv1\pmod{5}.
  • Testando: 4\cdot1=4\not\equiv1, 4\cdot2=8\equiv3, 4\cdot3=12\equiv2, 4\cdot4=16\equiv1\pmod{5}.
  • Assim 4\cdot4\equiv1, então
x^{-1}=4+I.
(Observação rápida e intuitiva: 4\equiv-1\pmod{5}, então (-1)^{-1}=-1, isto é 4^{-1}\equiv4.)

Passo 7

Cálculo de y^{2} com y=2+I:
  • 2^{2}=4.
  • Reduzindo módulo 5: 4\equiv4\pmod{5}.
  • Logo
y^{2}=(2+I)^{2}=4+I.
Note que y^{2}=4+I, que é exatamente x.

Resposta

\{0+I,\;1+I,\;2+I,\;3+I,\;4+I\}
x+y=1+I
x\cdot y=3+I
x^{-1}=4+I
y^{2}=4+I

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