(20pts) 5) Considere o anel
e o seu ideal
com adição e multiplicação usuais dos inteiros. Liste todos os elementos do anel-quociente
e, entre os elementos listados, determine os resultados das operações
e
, onde
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- O anel é
. - O ideal é
. - Deve-se listar todos os elementos do anel-quociente
. - Devem-se determinar os resultados das operações pedidas envolvendo
e , onde e . As operações que vou calcular são , , (se existir) e .
Passo 2
O que é um elemento de
e como listar todos:
- Um elemento de
é uma classe lateral (coset) da forma . - Dois inteiros
representam a mesma classe se e somente se . - Portanto há exatamente cinco classes distintas (os restos módulo
). Listando-as:
Essas são todas as classes possíveis, porque todo inteiro tem resto
ou
ao dividir por
.
Passo 3
Como se somam e multiplicam classes (a regra prática):
- Regra de soma: para quaisquer
,
Isto significa que soma-se representantes e depois toma-se a classe (ou, equivalentemente, soma-se restos mod
).
- Regra de produto:
Multiplica-se representantes e toma-se a classe (ou produto dos restos mod
).
- Observação útil: trabalhar em
é o mesmo que trabalhar com restos módulo . Vou de agora em diante substituir cada classe por seu representante em .
Passo 4
Cálculo de
com
e
:
- Soma dos representantes:
. - Reduzindo módulo
: . - Logo
Passo 5
Cálculo de
:
- Produto dos representantes:
. - Reduzindo módulo
: . - Logo
Passo 6
Existência e cálculo de
(inverso multiplicativo de
):
- Critério geral: uma classe
tem inverso em se e somente se . Como é primo, todas as classes com representante diferente de são invertíveis. - Aqui
tem , logo é unidade. - Para achar o inverso, procura-se
tal que . - Testando:
, , , . - Assim
, então
(Observação rápida e intuitiva:
, então
, isto é
.)
Passo 7
Cálculo de
com
:
-
. - Reduzindo módulo
: . - Logo
Note que
, que é exatamente
.