Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função
".
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A função é
.
Informações que precisamos extrair imediatamente (importantes para resolver):
- Domínio da função: é preciso que
, ou seja ou . Portanto o domínio é .
Passo 2
Definição importante (o que é “número crítico”):
Um número do domínio de
é chamado de número crítico se pelo menos uma das duas condições ocorre:
Um número
-
, ou -
não existe em .
Vamos usar essa definição para identificar todos os pontos do domínio onde a derivada é zero ou não existe.
Passo 3
Calcular a derivada
(passo a passo, explicando a regra usada).
Escrevemos a função como potência:
Escrevemos a função como potência:
Aplicamos a regra da cadeia: se
e
, então
e
. Pela regra da cadeia,
Simplificando os fatores
e
,
Reescrevendo com raiz no denominador,
Explicando cada parte:
no numerador vem da derivada interna
(após simplificar), e
no denominador vem da derivada da raiz; essa expressão só é numérica quando o denominador for estritamente positivo.
Passo 4
Determinar onde
existe e onde não existe, levando em conta o domínio.
- No domínio temos
. Para com (ou seja ou ) a quantidade , a raiz no denominador é positiva e finita, portanto existe e vale . - Em
temos , então o denominador é zero e a fórmula dá divisão por zero: não existe (a derivada não está definida nesses pontos). Observação: os pontos pertencem ao domínio (pois ), então esses pontos são candidatos a números críticos pela segunda condição da definição.
Passo 5
Resolver
dentro do domínio (primeira condição para número crítico).
A equação
A equação
é equivalente a pedir que o numerador seja zero (o denominador, quando definido, é positivo), logo
. Mas
NÃO pertence ao domínio (
). Portanto não há pontos do domínio onde
.
Passo 6
Concluir os números críticos usando as duas condições:
- Não existem pontos do domínio com
. - Em
e a derivada não existe e esses pontos pertencem ao domínio.
Logo os números críticos são
e
. (Para informação adicional:
.)