Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=\sqrt{x^{2}-16};

Passo 1

O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função f(x)=\sqrt{x^{2}-16}".
Informações dadas explicitamente:
  • A função é f(x)=\sqrt{x^{2}-16}.
Informações que precisamos extrair imediatamente (importantes para resolver):
  • Domínio da função: é preciso que x^{2}-16\ge 0, ou seja x\le -4 ou x\ge 4. Portanto o domínio é (-\infty,-4]\cup[4,\infty).

Passo 2

Definição importante (o que é “número crítico”):
Um número c do domínio de f é chamado de número crítico se pelo menos uma das duas condições ocorre:
  1. f'\text{(c)}=0, ou
  2. f' não existe em c.
Vamos usar essa definição para identificar todos os pontos do domínio onde a derivada é zero ou não existe.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) (passo a passo, explicando a regra usada).
Escrevemos a função como potência:
f(x)=(x^{2}-16)^{1/2}.
Aplicamos a regra da cadeia: se g(u)=u^{1/2} e u(x)=x^{2}-16, então g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2} e u'(x)=2x. Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-16)^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando os fatores 2 e 1/2,
f'(x)=x\,(x^{2}-16)^{-1/2}.
Reescrevendo com raiz no denominador,
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}.
Explicando cada parte: x no numerador vem da derivada interna 2x (após simplificar), e \sqrt{x^{2}-16} no denominador vem da derivada da raiz; essa expressão só é numérica quando o denominador for estritamente positivo.

Passo 4

Determinar onde f'(x) existe e onde não existe, levando em conta o domínio.
  • No domínio temos |x|\ge 4. Para x com |x|>4 (ou seja x<-4 ou x>4) a quantidade x^{2}-16>0, a raiz no denominador é positiva e finita, portanto f'(x) existe e vale \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}.
  • Em x=\pm 4 temos x^{2}-16=0, então o denominador é zero e a fórmula dá divisão por zero: f'(\pm 4) não existe (a derivada não está definida nesses pontos). Observação: os pontos x=\pm 4 pertencem ao domínio (pois f(\pm 4)=0), então esses pontos são candidatos a números críticos pela segunda condição da definição.

Passo 5

Resolver f'(x)=0 dentro do domínio (primeira condição para número crítico).
A equação
\frac{x}{\sqrt{x^{2}-16}}=0
é equivalente a pedir que o numerador seja zero (o denominador, quando definido, é positivo), logo x=0. Mas x=0 NÃO pertence ao domínio ( 0^2-16=-16<0). Portanto não há pontos do domínio onde f'(x)=0.

Passo 6

Concluir os números críticos usando as duas condições:
  • Não existem pontos do domínio com f'(x)=0.
  • Em x=-4 e x=4 a derivada não existe e esses pontos pertencem ao domínio.
Logo os números críticos são x=-4 e x=4. (Para informação adicional: f(-4)=f(4)=0.)

Resposta

-4 e 4

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