Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=2 x^{4}-4 x^{3}+6;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^{4}-4x^{3}+6
e pede para encontrar os números críticos, se existirem.
Informações relevantes:
  • A função dada é um polinômio de quarto grau.
  • O que se pede: listar todos os valores de x que são números críticos da função.

Passo 2

O que é um número crítico? Vou explicar direitinho para você levar isso pra prova.
  • Definição: um número crítico de f é qualquer número x do domínio de f tal que uma das duas coisas acontece:
    1. f'(x)=0 (a derivada é zero), ou
    2. f'(x) não existe (a derivada é indefinida).
  • Observação prática: para funções polinomiais a derivada existe para todo x (não tem ponto onde seja indefinida). Portanto, aqui só precisamos resolver f'(x)=0.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada f'(x). Vou usar a regra do poder (power rule): para g(x)=x^{n} vale g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
  • Derivada de 2x^{4}: 2\cdot 4 x^{3}=8x^{3}.
  • Derivada de -4x^{3}: -4\cdot 3 x^{2}=-12x^{2}.
  • Derivada de 6 (constante): 0.
Portanto
f'(x)=8x^{3}-12x^{2}.

Passo 4

Para resolver f'(x)=0 fica mais fácil fatorar a expressão. Vou fatorar fator comum:
f'(x)=8x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(2x-3).
Agora impondo f'(x)=0:
4x^{2}(2x-3)=0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Como 4 nunca é zero, as possibilidades são:
  • x^{2}=0 \Rightarrow x=0 (raiz de multiplicidade 2),
  • 2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Checagem rápida: como f é polinomial, não há pontos em que f' seja indefinida. Logo os únicos números críticos são os valores de x encontrados acima.
Se quiser também os pontos críticos (valor de f nesses x), posso calcular:
f(0)=6, \qquad f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}-4\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}+6.
Calculando passo a passo:
\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=\tfrac{81}{16},\qquad \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}=\tfrac{27}{8},
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\cdot\tfrac{81}{16}-4\cdot\tfrac{27}{8}+6 =\tfrac{162}{16}-\tfrac{108}{8}+6 =\tfrac{81}{8}-\tfrac{108}{8}+\tfrac{48}{8} =\tfrac{21}{8}.
Portanto os pontos críticos correspondem a \bigl(0,6\bigr) e \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{21}{8}\bigr), se você quiser os pares coordenados.

Resposta

x=0
x=\dfrac{3}{2}

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