Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os números críticos, se existirem.
Informações relevantes:
- A função dada é um polinômio de quarto grau.
- O que se pede: listar todos os valores de
que são números críticos da função.
Passo 2
O que é um número crítico? Vou explicar direitinho para você levar isso pra prova.
-
Definição: um número crítico de
é qualquer número do domínio de tal que uma das duas coisas acontece: -
(a derivada é zero), ou -
não existe (a derivada é indefinida).
-
-
Observação prática: para funções polinomiais a derivada existe para todo
(não tem ponto onde seja indefinida). Portanto, aqui só precisamos resolver .
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada
. Vou usar a regra do poder (power rule): para
vale
. Aplicando termo a termo:
- Derivada de
: . - Derivada de
: . - Derivada de
(constante): .
Portanto
Passo 4
Para resolver
fica mais fácil fatorar a expressão. Vou fatorar fator comum:
Agora impondo
:
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Como
nunca é zero, as possibilidades são:
-
(raiz de multiplicidade 2), -
Passo 5
Checagem rápida: como
é polinomial, não há pontos em que
seja indefinida. Logo os únicos números críticos são os valores de
encontrados acima.
Se quiser também os pontos críticos (valor de
nesses
), posso calcular:
Calculando passo a passo:
Portanto os pontos críticos correspondem a
e
, se você quiser os pares coordenados.