Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi dado domínio explícito, então assumir o domínio natural dos polinômios: todos os reais.
Passo 2
O que é um número crítico (explicação didática)?
- Um número
é chamado de número crítico de se pertence ao domínio de e satisfaz uma das duas condições: -
, ou -
não está definida em .
-
- Em provas, para funções polinomiais (como aqui) a derivada existe para todo
, então só precisamos resolver .
Passo 3
Vamos calcular a derivada
passo a passo usando a regra do expoente (power rule):
- Regra do expoente: se
com constante e inteiro , então .
Aplicando termo a termo em:
Portanto,
Passo 4
Fatorando
para resolver a equação
de forma mais simples:
- Identificar fator comum:
é comum em ambos os termos.
Ficou fatorado como produto de
,
e
.
Passo 5
Resolver
usando a propriedade do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero):
- O fator
nunca é zero, então ignoramos. - Se
então . (essa raiz tem multiplicidade 3, porque vem de .) - Se
então , logo .
Passo 6
Verificação de derivada indefinida:
- A derivada
é um polinômio, definido para todo . Portanto não há pontos onde a derivada seja indefinida que gerem números críticos extras. - Assim, todos os números críticos vêm das soluções de
encontradas no passo anterior.
Passo 7
Na prova, faça exatamente estes passos rápidos: compute
com a regra do expoente, fatorize para facilitar, resolva os fatores iguais a zero, e cheque se existem pontos onde
não existe (no caso de polinômios isso não ocorre). Isso economiza tempo e evita erros.