Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=2 x^{6}-6 x^{4};

Passo 1

O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função f(x)=2x^{6}-6x^{4}".
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x^{6}-6x^{4}.
  • Não foi dado domínio explícito, então assumir o domínio natural dos polinômios: todos os reais.

Passo 2

O que é um número crítico (explicação didática)?
  • Um número c é chamado de número crítico de f se c pertence ao domínio de f e satisfaz uma das duas condições:
    1. \,f'\text{(c)}=0, ou
    2. f' não está definida em c.
  • Em provas, para funções polinomiais (como aqui) a derivada existe para todo x\in\mathbb{R}, então só precisamos resolver \,f'(x)=0.

Passo 3

Vamos calcular a derivada f'(x) passo a passo usando a regra do expoente (power rule):
  • Regra do expoente: se g(x)=a x^{n} com constante a e inteiro n, então g'(x)=a n x^{n-1}.
    Aplicando termo a termo em f(x)=2x^{6}-6x^{4}:
\text{Derivada de }2x^{6}\;=\;2\cdot 6\,x^{5}=12x^{5},
\text{Derivada de }-6x^{4}\;=\;-6\cdot 4\,x^{3}=-24x^{3}.
Portanto,
f'(x)=12x^{5}-24x^{3}.

Passo 4

Fatorando f'(x) para resolver a equação f'(x)=0 de forma mais simples:
  • Identificar fator comum: 12x^{3} é comum em ambos os termos.
f'(x)=12x^{5}-24x^{3}=12x^{3}\bigl(x^{2}-2\bigr).
Ficou fatorado como produto de 12, x^{3} e (x^{2}-2).

Passo 5

Resolver f'(x)=0 usando a propriedade do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero):
12x^{3}\bigl(x^{2}-2\bigr)=0.
  • O fator 12 nunca é zero, então ignoramos.
  • Se x^{3}=0 então x=0. (essa raiz tem multiplicidade 3, porque vem de x^{3}.)
  • Se x^{2}-2=0 então x^{2}=2, logo x=\pm\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação de derivada indefinida:
  • A derivada f'(x)=12x^{3}(x^{2}-2) é um polinômio, definido para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há pontos onde a derivada seja indefinida que gerem números críticos extras.
  • Assim, todos os números críticos vêm das soluções de f'(x)=0 encontradas no passo anterior.

Passo 7

Na prova, faça exatamente estes passos rápidos: compute f' com a regra do expoente, fatorize para facilitar, resolva os fatores iguais a zero, e cheque se existem pontos onde f' não existe (no caso de polinômios isso não ocorre). Isso economiza tempo e evita erros.

Resposta

-\sqrt{2}
0
\sqrt{2}

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