5- Ache o polinômio de Maclaurin de grau 3 para a função f(x)=x sen(x).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Maclaurin de grau 3 para a função f(x)=xsin(x). Vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor em torno de 0 até a terceira derivada:
P3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3

Passo 2

Calcular as derivadas de f:
f(x)=xsin(x),
f'(x)=sin(x)+xcos(x),
f''(x)=cos(x)+l(cos(x)-xsin(x)r)=2cos(x)-xsin(x),
f'''(x)=-2sin(x)-l(sin(x)+xcos(x)r)=-3sin(x)-xcos(x)

Passo 3

Avaliar cada derivada em x=0:
f(0)=0,
f'(0)=sin(0)+0cdotcos(0)=0,
f''(0)=2cos(0)-0cdotsin(0)=2,
f'''(0)=-3sin(0)-0cdotcos(0)=0

Passo 4

Substituir esses valores em
P3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2+f'''(0)6x^3
ficando
P3(x)=0+0cdot x+22x^2+0cdot x^3=x^2

Resposta

P3(x)=x^2

Exercícios relacionados