Determine, caso exista, o limite das sequências abaixo.
an=e^nn^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = e^nn^2+1
e pede seu limite quando ntoinfty. Aqui o conteúdo é comparação de crescimentos entre função exponencial e polinomial, e podemos usar o critério da razão para sequências.

Passo 2

Vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = e^,n+1(n+1)^2+1,gl(n^2+1e^,ngr) = e;n^2+1(n+1)^2+1
Quando ntoinfty,
n^2+1(n+1)^2+1 =n^2l(1+tfrac1n^2r)n^2l(1+tfrac2n+tfrac1n^2r)+1 longrightarrow 1,
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limntoinftyan+1an=e>1

Passo 3

Como a razão assintótica é maior que 1, os termos de an crescem sem limite superior. Portanto a sequência diverge para +infty.

Resposta

limntoinftyan=+infty

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