Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, vale a igualdade
Informações dadas:
- A soma no lado esquerdo é a soma dos primeiros
cubos dos números ímpares: os termos são . - O que se pede é provar que essa soma é igual ao polinômio do lado direito para todo
(ou seja, todo ).
Passo 2
Explicando o princípio da indução (de forma bem direta e prática):
- Para provar que uma afirmação
é verdadeira para todo , faz-se: - Base (caso
): verifica-se que é verdadeira. - Passo indutivo: assume-se que
é verdadeira para um inteiro arbitrário (essa é a hipótese indutiva) e, usando-a, prova-se .
- Base (caso
- Se esses dois passos funcionarem, então
vale para todo .
Aqui a afirmaçãoé exatamente a igualdade do Passo 1.
Passo 3
Base da indução (
). Vamos conferir:
Portanto
, ou seja,
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro
a igualdade seja verdadeira; isto é, assuma que
Essa é a nossa hipótese indutiva, e vamos usá-la para provar
.
Passo 5
Passo indutivo: escrever a soma até
em função da soma até
. A soma até
é
Note que
. Usando a hipótese indutiva, substituímos a soma até
por
:
Passo 6
Expandir
passo a passo (sem pular contas):
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 7
Somar isso com
. Primeiro expandir
:
Agora somar:
Passo 8
Mostrar que a expressão obtida em cima é exatamente a forma para
, isto é, que
Para verificar, expandimos o lado direito:
Agora multiplicar termo a termo:
Isso coincide exatamente com a soma que obtivemos no Passo 7. Logo
ou seja,
.
Passo 9
Conclusão: como
é verdadeira (Passo 3) e mostramos que
para todo
(Passos 5–8), pelo princípio da indução a igualdade vale para todo inteiro
. Parabéns — a identidade está provada!