Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, vale a igualdade
1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right).
Informações dadas:
  • A soma no lado esquerdo é a soma dos primeiros n cubos dos números ímpares: os termos são (2\cdot1-1)^{3},(2\cdot2-1)^{3},\dots,(2n-1)^{3}.
  • O que se pede é provar que essa soma é igual ao polinômio do lado direito para todo n\in\mathbb{N} (ou seja, todo n\ge1).

Passo 2

Explicando o princípio da indução (de forma bem direta e prática):
  • Para provar que uma afirmação P(n) é verdadeira para todo n\ge1, faz-se:
    1. Base (caso n=1): verifica-se que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assume-se que P(k) é verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge1 (essa é a hipótese indutiva) e, usando-a, prova-se P(k+1).
  • Se esses dois passos funcionarem, então P(n) vale para todo n\ge1.
    Aqui a afirmação P(n) é exatamente a igualdade do Passo 1.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Vamos conferir:
\text{LHS para }n=1:\quad 1^{3}=1.
\text{RHS para }n=1:\quad 1^{2}\bigl(2\cdot1^{2}-1\bigr)=1\cdot(2-1)=1.
Portanto \;1^{3}=1^{2}(2\cdot1^{2}-1), ou seja, P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro k\ge1 a igualdade seja verdadeira; isto é, assuma que
1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2k-1)^{3}=k^{2}\left(2k^{2}-1\right).
Essa é a nossa hipótese indutiva, e vamos usá-la para provar P(k+1).

Passo 5

Passo indutivo: escrever a soma até k+1 em função da soma até k. A soma até k+1 é
1^{3}+3^{3}+\ldots+(2k-1)^{3}+(2(k+1)-1)^{3}.
Note que 2(k+1)-1=2k+1. Usando a hipótese indutiva, substituímos a soma até (2k-1)^{3} por k^{2}(2k^{2}-1):
\begin{aligned} &1^{3}+3^{3}+\ldots+(2k-1)^{3}+(2k+1)^{3}\\\ &\quad= k^{2}\left(2k^{2}-1\right)+(2k+1)^{3}. \end{aligned}

Passo 6

Expandir (2k+1)^{3} passo a passo (sem pular contas):
(2k+1)^{3}=(2k)^{3}+3(2k)^{2}\cdot1+3(2k)\cdot1^{2}+1^{3}.
Calculando cada termo:
(2k)^{3}=8k^{3},\qquad 3(2k)^{2}=3\cdot4k^{2}=12k^{2},\qquad 3(2k)=6k,\qquad 1^{3}=1.
Portanto
(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1.

Passo 7

Somar isso com k^{2}(2k^{2}-1). Primeiro expandir k^{2}(2k^{2}-1):
k^{2}(2k^{2}-1)=2k^{4}-k^{2}.
Agora somar:
\begin{aligned} k^{2}\left(2k^{2}-1\right)+(2k+1)^{3} &=2k^{4}-k^{2}+\bigl(8k^{3}+12k^{2}+6k+1\bigr)\\\ &=2k^{4}+8k^{3}+11k^{2}+6k+1. \end{aligned}

Passo 8

Mostrar que a expressão obtida em cima é exatamente a forma para k+1, isto é, que
2k^{4}+8k^{3}+11k^{2}+6k+1=(k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr).
Para verificar, expandimos o lado direito:
\begin{aligned} (k+1)^{2}\bigl(2(k+1)^{2}-1\bigr) &=(k^{2}+2k+1)\bigl(2(k^{2}+2k+1)-1\bigr)\\\ &=(k^{2}+2k+1)(2k^{2}+4k+1). \end{aligned}
Agora multiplicar termo a termo:
\begin{aligned} (k^{2}+2k+1)(2k^{2}+4k+1) &=k^{2}(2k^{2}+4k+1)+2k(2k^{2}+4k+1)+1(2k^{2}+4k+1)\\\ &=2k^{4}+4k^{3}+k^{2}+4k^{3}+8k^{2}+2k+2k^{2}+4k+1\\\ &=2k^{4}+8k^{3}+11k^{2}+6k+1. \end{aligned}
Isso coincide exatamente com a soma que obtivemos no Passo 7. Logo
k^{2}\left(2k^{2}-1\right)+(2k+1)^{3}=(k+1)^{2}\left(2(k+1)^{2}-1\right),
ou seja, P(k)\Rightarrow P(k+1).

Passo 9

Conclusão: como P(1) é verdadeira (Passo 3) e mostramos que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k\ge1 (Passos 5–8), pelo princípio da indução a igualdade vale para todo inteiro n\ge1. Parabéns — a identidade está provada!

Resposta

1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right)

Exercícios relacionados