Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2 n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4 n^{2}-1\right), para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right).
Informações dadas relevantes:
  • A soma do lado esquerdo é a soma dos n primeiros números ímpares elevados ao quadrado: o k-ésimo termo é (2k-1)^{2} para k=1,2,\ldots,n.
  • O lado direito é uma expressão algébrica fechada em função de n: \dfrac{n}{3}\bigl(4n^{2}-1\bigr).
    O que se pede: provar que a igualdade acima vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (princípio da indução) de forma simples e amigável:
  • O princípio da indução matemática mostra que, para provar uma proposição P(n) para todo inteiro n\ge 1, basta:
    1. Verificar a base: P(1) é verdadeira.
    2. Provar o passo indutivo: se P(m) é verdadeira para um m\in\mathbb{N}, então P(m+1) também é verdadeira.
  • Aqui definimos P(n) como a afirmação 1^{2}+3^{2}+\cdots+(2n-1)^{2}=\frac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right).
Vou fazer a base n=1 e depois o passo indutivo detalhadamente, sem pular contas.

Passo 3

Base da indução ( n=1):
  • Lado esquerdo para n=1: 1^{2}=1.
  • Lado direito para n=1: \dfrac{1}{3}\bigl(4\cdot1^{2}-1\bigr)=\dfrac{1}{3}(4-1)=\dfrac{3}{3}=1.
    Como os dois lados coincidem, a base P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese indutiva:
  • Suponha que para algum m\in\mathbb{N} vale 1^{2}+3^{2}+\cdots+(2m-1)^{2}=\frac{m}{3}\left(4m^{2}-1\right).
Essa é a hipótese que vamos usar para provar P(m+1).

Passo 5

Passo indutivo — calcular a soma até m+1:
  • A soma até m+1 é a soma até m mais o termo (2(m+1)-1)^{2}=(2m+1)^{2}. Assim 1^{2}+3^{2}+\cdots+(2m-1)^{2}+(2m+1)^{2} \;=\; \frac{m}{3}\left(4m^{2}-1\right)+(2m+1)^{2},onde na igualdade usei a hipótese indutiva.
  • Agora desenvolvo cuidadosamente o lado direito. Primeiro expandir (2m+1)^{2}: (2m+1)^{2}=4m^{2}+4m+1.
  • Somando com \dfrac{m}{3}\bigl(4m^{2}-1\bigr) e colocando em denominador comum 3: \frac{m}{3}\left(4m^{2}-1\right)+(4m^{2}+4m+1) =\frac{m(4m^{2}-1)+3(4m^{2}+4m+1)}{3}.
  • Expandindo os termos do numerador: m(4m^{2}-1)=4m^{3}-m, \qquad 3(4m^{2}+4m+1)=12m^{2}+12m+3.Somando: 4m^{3}-m+12m^{2}+12m+3=4m^{3}+12m^{2}+11m+3.
  • Agora fatoro esse polinômio de modo a obter a forma desejada. Observe que (m+1)\bigl(4m^{2}+8m+3\bigr)=m(4m^{2}+8m+3)+(4m^{2}+8m+3).Ao expandir: m(4m^{2}+8m+3)=4m^{3}+8m^{2}+3m,e 4m^{2}+8m+3somando dá 4m^{3}+12m^{2}+11m+3,que é exatamente o numerador que obtivemos. Portanto 4m^{3}+12m^{2}+11m+3=(m+1)\bigl(4m^{2}+8m+3\bigr).
  • Assim a soma até m+1 fica \frac{4m^{3}+12m^{2}+11m+3}{3} =\frac{(m+1)\bigl(4m^{2}+8m+3\bigr)}{3}.
  • Finalmente verifico que a expressão obtida é exatamente a fórmula do enunciado com n=m+1. De fato \frac{m+1}{3}\left(4(m+1)^{2}-1\right) =\frac{m+1}{3}\bigl(4(m^{2}+2m+1)-1\bigr) =\frac{m+1}{3}\bigl(4m^{2}+8m+3\bigr),que coincide com o resultado anterior. Portanto, a partir da hipótese para m chegamos à validade para m+1.

Passo 6

Como a base P(1) é verdadeira e o passo indutivo mostra que P(m)\Rightarrow P(m+1), pelo princípio da indução a afirmação é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\dfrac{n}{3}\left(4n^{2}-1\right)

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