Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Informações dadas relevantes:
- A soma do lado esquerdo é a soma dos
primeiros números ímpares elevados ao quadrado: o -ésimo termo é para . - O lado direito é uma expressão algébrica fechada em função de
: .
O que se pede: provar que a igualdade acima vale para todo.
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (princípio da indução) de forma simples e amigável:
- O princípio da indução matemática mostra que, para provar uma proposição
para todo inteiro , basta: - Verificar a base:
é verdadeira. - Provar o passo indutivo: se
é verdadeira para um , então também é verdadeira.
- Verificar a base:
- Aqui definimos
como a afirmação
Vou fazer a base
e depois o passo indutivo detalhadamente, sem pular contas.
Passo 3
Base da indução (
):
- Lado esquerdo para
: . - Lado direito para
: .
Como os dois lados coincidem, a baseé verdadeira.
Passo 4
Hipótese indutiva:
- Suponha que para algum
vale
Essa é a hipótese que vamos usar para provar
.
Passo 5
Passo indutivo — calcular a soma até
:
- A soma até
é a soma até mais o termo . Assim onde na igualdade usei a hipótese indutiva. - Agora desenvolvo cuidadosamente o lado direito. Primeiro expandir
: - Somando com
e colocando em denominador comum : - Expandindo os termos do numerador:
Somando: - Agora fatoro esse polinômio de modo a obter a forma desejada. Observe que
Ao expandir: e somando dá que é exatamente o numerador que obtivemos. Portanto - Assim a soma até
fica - Finalmente verifico que a expressão obtida é exatamente a fórmula do enunciado com
. De fato que coincide com o resultado anterior. Portanto, a partir da hipótese para chegamos à validade para .
Passo 6
Como a base
é verdadeira e o passo indutivo mostra que
, pelo princípio da indução a afirmação é verdadeira para todo
.