Ache os pontos do gráfico
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
Tranquilo, vamos lá: a superfície é
e a gente quer achar o(s) ponto(s) onde o plano tangente a
fica paralelo ao plano
Isso envolve cálculo multivariável — derivadas parciais (pra inclinações), plano tangente (pra normal) e condição de paralelismo de vetores normais.
Passo 2
Primeiro, calcula as derivadas parciais de
Elas são
Essas derivadas dão a inclinação em cada direção.
Passo 3
O plano tangente em
para
é
Reescrevendo em forma
, o vetor normal é
Já o plano
vira
com vetor normal
Passo 4
Planos paralelos têm normais colineares, ou seja
Isso gera o sistema
Passo 5
Da última equação sai
lambda = -1 . Então
De
2x - y = -4 a gente isola
e põe em
-x + 4y = 11 :
Logo
Passo 6
Agora calcula
z em
z = x^2 - xy + 2y^2 , com
x=-tfrac57 e
y=tfrac187 :
Resposta
O único ponto onde o plano tangente a
S é paralelo a
4x + z = 11y é