Ache os pontos do gráfico S: z=x^2-x y+2 y^2 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano de equação 4 x+z=11 y.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá: a superfície é
S:;z = x^2 - x,y + 2y^2
e a gente quer achar o(s) ponto(s) onde o plano tangente a S fica paralelo ao plano
4x + z = 11y
Isso envolve cálculo multivariável — derivadas parciais (pra inclinações), plano tangente (pra normal) e condição de paralelismo de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, calcula as derivadas parciais de
f(x,y) = x^2 - x,y + 2y^2
Elas são
fx = partial fpartial x = 2x - y, fy = partial fpartial y = -x + 4y
Essas derivadas dão a inclinação em cada direção.

Passo 3

O plano tangente em (x0,y0,z0) para z=f(x,y) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Reescrevendo em forma Ax + By + Cz + D = 0, o vetor normal é
n = l(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1r)
Já o plano 4x + z = 11y vira
4x - 11y + z = 0
com vetor normal
n' = (4,,-11,,1)

Passo 4

Planos paralelos têm normais colineares, ou seja
(fx,,fy,,-1) = lambda,(4,,-11,,1)
Isso gera o sistema
2x - y = 4lambda, -,x + 4y = -,11lambda, -1 = lambdacdot 1

Passo 5

Da última equação sai lambda = -1. Então
2x - y = 4(-1) = -4, -,x + 4y = -11(-1) = 11
De 2x - y = -4 a gente isola
y = 2x + 4
e põe em -x + 4y = 11:
-,x + 4(2x + 4) = 11 ;Longrightarrow; -,x + 8x + 16 = 11 ;Longrightarrow; 7x = -5 ;Longrightarrow; x = -tfrac57
Logo
y = 2l(-tfrac57r) + 4 = -tfrac107 + tfrac287 = tfrac187

Passo 6

Agora calcula z em z = x^2 - xy + 2y^2, com x=-tfrac57 e y=tfrac187:
z = l(-tfrac57r)^2 - l(-tfrac57r)l(tfrac187r) + 2l(tfrac187r)^2 = tfrac2549 + tfrac9049 + 2cdottfrac32449 = tfrac76349 = tfrac1097

Resposta

O único ponto onde o plano tangente a S é paralelo a 4x + z = 11y é
l(-tfrac57,,tfrac187,,tfrac1097r)

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