Sejam r1(t)=(x1(t), y1(t), z1(t)) e r2(t)=(x2(t), y2(t), z2(t)) curvas no espaço. Mostre que a derivada do produto escalar satisfaz
(r1(t) bul<=t r2(t))^prime=r1^prime(t) bul<=t r2(t)+r1(t) bul<=t r2^prime(t)

Passo 1

Então, o exercício diz que temos duas curvas no espaço
r1(t) = l(x1(t),,y1(t),,z1(t)r) e r2(t) = l(x2(t),,y2(t),,z2(t)r)
e pede pra mostrar que
l(r1(t)!cdot!r2(t)r)' ;=; r1'(t)!cdot!r2(t);+;r1(t)!cdot!r2'(t)
Conteúdo: derivada de funções vetoriais e produto escalar. Vamos precisar de:
  • definição de produto escalar em R^3,
  • linearidade da derivada ( (u+v)'=u'+v'),
  • regra do produto ( (uv)'=u'v+uv').

Passo 2

Primeiro, escreve o produto escalar em componentes:
r1(t)!cdot!r2(t) = x1(t),x2(t);+;y1(t),y2(t);+;z1(t),z2(t)
Lembra: em R^3, produto escalar é só somar cada componente vezes a correspondente.

Passo 3

Agora, bora derivar isso. Como a derivada de soma é soma das derivadas,
ddtl(r1!cdot!r2r) = ddtl(x1x2 + y1y2 + z1z2r) = ddt(x1x2) ;+;ddt(y1y2);+;ddt(z1z2)

Passo 4

Em cada termo aplicamos a regra do produto pra funções escalares:
ddt(x1x2) = x1',x2 + x1,x2', ddt(y1y2) = y1',y2 + y1,y2', ddt(z1z2) = z1',z2 + z1,z2'
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l(r1!cdot!r2r)' = (x1'x2 + x1x2') + (y1'y2 + y1y2') + (z1'z2 + z1z2')

Passo 5

Só faltou agrupar:
x1'x2 + y1'y2 + z1'z2 = r1'(t)!cdot!r2(t),
x1x2' + y1y2' + z1z2' = r1(t)!cdot!r2'(t)

Resposta

l(r1(t)!cdot!r2(t)r)' = r1'(t)!cdot!r2(t);+;r1(t)!cdot!r2'(t)

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