Considere o campo X=(2 x y, x^2-y^2) no plano.
(a) Verifique que X é um campo conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para o campo X.
(c) Calcule integralC X d r, onde C é o arco da parábola y=x^2+1, para 0 <= x <= 1.

Passo 1

Aqui a gente tem um campo vetorial no plano
X(x,y)=(P(x,y),,Q(x,y))=(2xy,;x^2-y^2)
e o que pedem é:
  1. Mostrar que X é conservativo.
  2. Achar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=X.
  3. Calcular a integral de linha
    integralCXcdot dvec r, onde C é o arco da parábola
    ,y=x^2+1,,;0<= x<=1.
    Como o domínio é todo R^2 (simplesmente conexo) e se for conservativo, dá pra usar a diferença de potenciais para a integral.

Passo 2

O teste clássico de campo conservativo em R^2 é comparar
partial P/partial y com partial Q/partial x. Calculemos:
partial Ppartial y =partialpartial y(2xy)=2x, partial Qpartial x =partialpartial x(x^2-y^2)=2x
Como ambas derivadas são iguais ( 2x), concluímos que X é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial phi(x,y) satisfazendo
partialphipartial x=2xy e
partialphipartial y=x^2-y^2, começamos integrando em x:
phi(x,y) =integral 2xy,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Agora impomos
partialphipartial y = x^2 + h'(y) = x^2-y^2
Logo h'(y)=-y^2, o que dá
h(y)=integral -y^2,dy =-y^33+C
Podemos desprezar a constante global C. Assim
phi(x,y)=x^2y-y^33

Passo 4

Como C liga o ponto inicial (0,1) ao final (1,2) seguindo y=x^2+1, a integral de linha vale
integralCXcdot dvec r =phil(1,2r)-phil(0,1r)
Calculemos:
phi(1,2) =1^2cdot2-2^33 =2-83 =-23, phi(0,1) =0^2cdot1-1^33 =-13
Logo
integralCXcdot dvec r =-23-l(-13r) =-13

Resposta

-13

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