Considere o campo
no plano.
(a) Verifique que
é um campo conservativo.
(b) Encontre uma função potencial para o campo
.
(c) Calcule
, onde
é o arco da parábola
, para
.
(a) Verifique que
(b) Encontre uma função potencial para o campo
(c) Calcule
Passo 1
Aqui a gente tem um campo vetorial no plano
e o que pedem é:
- Mostrar que
é conservativo. - Achar uma função potencial
tal que . - Calcular a integral de linha
, onde é o arco da parábola
.
Como o domínio é todo(simplesmente conexo) e se for conservativo, dá pra usar a diferença de potenciais para a integral.
Passo 2
O teste clássico de campo conservativo em
é comparar
com
. Calculemos:
Como ambas derivadas são iguais (
), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
e
, começamos integrando em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Agora impomos
Agora impomos
Logo
, o que dá
Podemos desprezar a constante global
. Assim
Passo 4
Como
liga o ponto inicial
ao final
seguindo
, a integral de linha vale
Calculemos:
Logo