(7^{2}) ) Calcule a integral dupla
, onde D é a metade inferior do disco com centro na origem e raio 1 . (Isto é,
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla do integrando
sobre a região
que é a metade inferior do disco de centro na origem e raio
. Ou seja:
Informações dadas:
A pergunta é: qual é o valor de
Passo 2
Primeira observação útil (para simplificar a integral): o integrando pode ser fatorado em termos de
:
Isso já dá uma pista: aparece
, que é natural em coordenadas polares. Vou explicar por que isso ajuda e escolher coordenadas polares por causa da forma circular da região
(disco/metade de disco). Coordenadas polares simplificam regiões circulares e expressões com
.
Passo 3
Lição rápida sobre coordenadas polares (didática e prática):
- Em coordenadas polares usamos
e com
- A relação importante é
. - O elemento de área
transforma-se em . Explicação curta do Jacobiano: um pequeno retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área é . É por isso que aparece esse fator .
Passo 4
Substituímos o integrando e o elemento de área em polares. Usando
e
,
Multiplicando pelo Jacobiano
(do
) obtemos a função que entra na integral em polares:
Passo 5
Agora descrevemos a região
em coordenadas polares. Como é a metade inferior do disco de raio
:
e
deve variar ao longo da metade inferior do círculo. Podemos tomar
(ou equivalentemente
). Escolho
porque é mais direto aqui (nessa faixa
, como esperado para a metade inferior).
Passo 6
Montamos a integral dupla em coordenadas polares com os limites decididos:
Passo 7
A integral é um produto de uma função só em
por uma função só em
, então podemos separar as integrais (teorema de Fubini / linearidade):
Passo 8
Calculemos cada uma:
- Para
:
- Para
:
Sabendo
e
, temos
Passo 9
Multiplicando os resultados:
Comentário rápido para reforçar: isso faz sentido qualitativamente porque o integrando é ímpar em
(isto é,
), então a integral sobre o disco inteiro seria zero; como estamos integrando apenas a metade inferior, o resultado é negativo (a contribuição do lado inferior não é cancelada pela superior).