(7^{2}) ) Calcule a integral dupla ∬(x^{2} y+y^{3}) d A, onde D é a metade inferior do disco com centro na origem e raio 1 . (Isto é, y \leq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla do integrando x^{2}y+y^{3} sobre a região D que é a metade inferior do disco de centro na origem e raio 1. Ou seja:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\le 0\}.
Informações dadas:
\text{Integrando: }x^{2}y+y^{3}.
\text{Região: metade inferior do disco de raio }1\text{ centrado na origem (}y\le 0\text{).}ã
A pergunta é: qual é o valor de
\iint_{D} (x^{2}y+y^{3})\,dA\; ?

Passo 2

Primeira observação útil (para simplificar a integral): o integrando pode ser fatorado em termos de y:
x^{2}y+y^{3}=y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Isso já dá uma pista: aparece x^{2}+y^{2}, que é natural em coordenadas polares. Vou explicar por que isso ajuda e escolher coordenadas polares por causa da forma circular da região D (disco/metade de disco). Coordenadas polares simplificam regiões circulares e expressões com x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Lição rápida sobre coordenadas polares (didática e prática):
  • Em coordenadas polares usamos r e \theta com
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • A relação importante é x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explicação curta do Jacobiano: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. É por isso que aparece esse fator r.

Passo 4

Substituímos o integrando e o elemento de área em polares. Usando y=r\sin\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2},
x^{2}y+y^{3}=y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=r\sin\theta\cdot r^{2}=r^{3}\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r (do dA) obtemos a função que entra na integral em polares:
\bigl(x^{2}y+y^{3}\bigr)\,dA = r^{3}\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora descrevemos a região D em coordenadas polares. Como é a metade inferior do disco de raio 1:
0\le r\le 1
e \theta deve variar ao longo da metade inferior do círculo. Podemos tomar
\pi\le \theta\le 2\pi
(ou equivalentemente -\pi\le\theta\le 0). Escolho \theta\in[\pi,2\pi] porque é mais direto aqui (nessa faixa \sin\theta\le 0, como esperado para a metade inferior).

Passo 6

Montamos a integral dupla em coordenadas polares com os limites decididos:
\iint_{D} (x^{2}y+y^{3})\,dA = \int_{\theta=\pi}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 7

A integral é um produto de uma função só em r por uma função só em \theta, então podemos separar as integrais (teorema de Fubini / linearidade):
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{1} r^{4}\,dr\Bigr)\cdot \Bigl(\int_{\pi}^{2\pi} \sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 8

Calculemos cada uma:
  • Para r:
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
  • Para \theta:
\int_{\pi}^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{\pi}^{2\pi} = \bigl(-\cos(2\pi)\bigr)-\bigl(-\cos\pi\bigr).
Sabendo \cos(2\pi)=1 e \cos\pi=-1, temos
\int_{\pi}^{2\pi} \sin\theta\,d\theta = (-1)-\bigl(-(-1)\bigr)=(-1)-1=-2.

Passo 9

Multiplicando os resultados:
\iint_{D} (x^{2}y+y^{3})\,dA = \frac{1}{5}\cdot(-2) = -\frac{2}{5}.
Comentário rápido para reforçar: isso faz sentido qualitativamente porque o integrando é ímpar em y (isto é, f(x,-y)=-f(x,y)), então a integral sobre o disco inteiro seria zero; como estamos integrando apenas a metade inferior, o resultado é negativo (a contribuição do lado inferior não é cancelada pela superior).

Resposta

-\frac{2}{5}

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