Calcule a integral dupla ∬ e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é a região do plano x y limitada pelo x^{2}+y^{2}=1 no quarto
Dquadrante, (isto é, x \geq 0, y \leq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA, onde D é a porção do disco x^{2}+y^{2}=1 que fica no quarto quadrante, isto é, sujeita às condições x\geq0 e y\leq0.\n
Informações dadas e o que é pedido:
\text{Região }D:\; x^{2}+y^{2}\leq 1,\quad x\geq0,\quad y\leq0.ã
\text{Função a integrar: } f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.çã
\text{Objetivo: } \iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 2

Observação sobre a simetria do integrando: a função e^{x^{2}+y^{2}} depende apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, do raio ao quadrado quando usamos coordenadas polares. Quando a função depende de x^{2}+y^{2}, é geralmente muito conveniente trocar para coordenadas polares, porque aí x^{2}+y^{2}=r^{2} fica simples. Nesta etapa não calculamos nada ainda; apenas explico por que vamos usar polar.

Passo 3

Lembrando a transformação para coordenadas polares e o que cada símbolo significa:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\geq0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Ao trocar para coordenadas polares, o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação). Vou usar isso explicitamente adiante.

Passo 4

Descrever a região D em coordenadas polares. A condição x^{2}+y^{2}\leq1 vira r^{2}\leq1, ou seja 0\leq r\leq1. O quarto quadrante corresponde a ângulos entre \theta=-\tfrac{\pi}{2} e \theta=0 (ou alternativamente entre \tfrac{3\pi}{2} e 2\pi; eu escolho -\tfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq0 porque é mais direto). Portanto os limites em polares são:
0\leq r\leq1,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq0.

Passo 5

Escrevo a integral dupla em coordenadas polares, substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Assim:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{0}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Agora a integral é separável em r e \theta (note que e^{r^{2}}r depende só de r, e os limites de \theta não dependem de r).

Passo 6

Calculo a integral interna em r:
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr.
Fazemos a substituição simples u=r^{2}. Então du=2r\,dr, logo r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Quando r=0 temos u=0; quando r=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
Essa é uma integral elementar da exponencial. Calculando:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\left(e^{1}-e^{0}\right) = \frac{1}{2}\left(e-1\right).

Passo 7

Agora voltamos à integral completa e integramos em \theta. Como a integral em r deu \tfrac{1}{2}(e-1), temos:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left(\frac{1}{2}(e-1)\right) d\theta = \frac{1}{2}(e-1) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta.
A integral de d\theta sobre esse intervalo é simplesmente o comprimento do intervalo:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta = 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.

Passo 8

Multiplicando os fatores:
\iint_{D} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \frac{1}{2}(e-1)\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\,(e-1).
Pronto — chegamos ao valor numérico exato da integral. Dá para conferir rapidamente: o integrando é positivo, a área do quarto de disco é \tfrac{\pi}{4}, e o fator extra vem da média ponderada do exponencial em r; o resultado \tfrac{\pi}{4}(e-1) tem a dimensão adequada e é razoável em magnitude.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\,(e-1)

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