Calcule a integral dupla
, onde D é a região do plano
limitada pelo
no quarto
Dquadrante, (isto é,
).
Dquadrante, (isto é,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a porção do disco
que fica no quarto quadrante, isto é, sujeita às condições
e
.\n
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
Passo 2
Observação sobre a simetria do integrando: a função
depende apenas de
, ou seja, do raio ao quadrado quando usamos coordenadas polares. Quando a função depende de
, é geralmente muito conveniente trocar para coordenadas polares, porque aí
fica simples. Nesta etapa não calculamos nada ainda; apenas explico por que vamos usar polar.
Passo 3
Lembrando a transformação para coordenadas polares e o que cada símbolo significa:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Ao trocar para coordenadas polares, o elemento de área
transforma-se em
(isso vem do jacobiano da transformação). Vou usar isso explicitamente adiante.
Passo 4
Descrever a região
em coordenadas polares. A condição
vira
, ou seja
. O quarto quadrante corresponde a ângulos entre
e
(ou alternativamente entre
e
; eu escolho
porque é mais direto). Portanto os limites em polares são:
Passo 5
Escrevo a integral dupla em coordenadas polares, substituindo
e
. Assim:
Agora a integral é separável em
e
(note que
depende só de
, e os limites de
não dependem de
).
Passo 6
Calculo a integral interna em
:
Fazemos a substituição simples
. Então
, logo
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Essa é uma integral elementar da exponencial. Calculando:
Passo 7
Agora voltamos à integral completa e integramos em
. Como a integral em
deu
, temos:
A integral de
sobre esse intervalo é simplesmente o comprimento do intervalo:
Passo 8
Multiplicando os fatores:
Pronto — chegamos ao valor numérico exato da integral. Dá para conferir rapidamente: o integrando é positivo, a área do quarto de disco é
, e o fator extra vem da média ponderada do exponencial em
; o resultado
tem a dimensão adequada e é razoável em magnitude.