Ache as quatro raízes complexas de z^4+4=0. Em seguida, usando-as, fatore z^4+4 em dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irredutíveis em R.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que achar as quatro raízes complexas da equação z^4 + 4 = 0 e, em seguida, usar essas raízes para fatorar o polinômio z^4 + 4 em dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irreduzíveis em R. O conteúdo envolve radiciação de números complexos e fatoração de polinômios.

Passo 2

Para encontrar as raízes, escrevemos -4 em forma polar: -4 = 4,e^ipi. Assim, a equação z^4 = -4 vira z^4 = 4,e^ipi. Pelas fórmulas de radiciação de números complexos, as soluções gerais são dadas por
zk = raiz[4]4;e^ipi + 2pi k4 = raiz2;e^il(tfracpi4 + tfrackpi2r), k = 0,1,2,3

Passo 3

Para cada valor de k obtemos as raízes:
k=0: z0 = raiz2,e^ipi/4 = 1 + i,
k=1: z1 = raiz2,e^i3pi/4 = -1 + i,
k=2: z2 = raiz2,e^i5pi/4 = -1 - i,
k=3: z3 = raiz2,e^i7pi/4 = 1 - i

Passo 4

Agora, agrupamos as raízes em pares conjugados para obter fatores quadráticos com coeficientes reais. Para 1+i e 1-i: soma = 2 e produto = 2, dando z^2 -2z +2. Para -1+i e -1-i: soma = -2 e produto = 2, dando z^2 +2z +2.

Resposta

(z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)

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