Ache as quatro raízes complexas de
. Em seguida, usando-as, fatore
dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irredutíveis em
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos que achar as quatro raízes complexas da equação
e, em seguida, usar essas raízes para fatorar o polinômio
em dois fatores quadráticos com coeficientes reais e irreduzíveis em
. O conteúdo envolve radiciação de números complexos e fatoração de polinômios.
Passo 2
Para encontrar as raízes, escrevemos
em forma polar:
. Assim, a equação
vira
. Pelas fórmulas de radiciação de números complexos, as soluções gerais são dadas por
Passo 3
Para cada valor de
obtemos as raízes:
Passo 4
Agora, agrupamos as raízes em pares conjugados para obter fatores quadráticos com coeficientes reais. Para
e
: soma = 2 e produto = 2, dando
. Para
e
: soma = -2 e produto = 2, dando
.
Resposta
(z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)