Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da solução do PVI
Temos a EDO y''+y=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e fonte definida por partes: t, &0<= t<1, 2-t,&1<= t<2, 0,&t>=2
O conteúdo é transformada de Laplace de derivadas e de funções por partes. Vamos precisar aplicar L nos dois lados da EDO, encontrar F(s)= Lf(t) e então Y(s)= Ly(t)=F(s)/(s^2+1).
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace à EDO e usando y(0)=y'(0)=0,
Ly''+ Ly = (s^2+1)Y(s) = F(s),
onde
F(s)= Lf(t)=integral0^infty f(t)e^-st,dt
Passo 3
Para calcular F(s) quebramos a integral em duas partes não nulas:
F(s)=integral0^1 t e^-st,dt + integral1^2(2-t)e^-st,dt
Usamos integração por partes em cada pedaço.
Passo 4
Cálculo de I1=integral0^1 t e^-st,dt:
Tomando u=t, dv=e^-stdt dá