Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado: y^prime prime+y=llt, & 0 <= t<1, 2-t, & 1 <= t<2, 0, & 2 <= t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da solução do PVI
Temos a EDO y''+y=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0 e fonte definida por partes:
t, &0<= t<1, 2-t,&1<= t<2, 0,&t>=2
O conteúdo é transformada de Laplace de derivadas e de funções por partes. Vamos precisar aplicar L nos dois lados da EDO, encontrar F(s)= Lf(t) e então Y(s)= Ly(t)=F(s)/(s^2+1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à EDO e usando y(0)=y'(0)=0,
Ly''+ Ly = (s^2+1)Y(s) = F(s),
onde
F(s)= Lf(t)=integral0^infty f(t)e^-st,dt

Passo 3

Para calcular F(s) quebramos a integral em duas partes não nulas:
F(s)=integral0^1 t e^-st,dt + integral1^2(2-t)e^-st,dt
Usamos integração por partes em cada pedaço.

Passo 4

Cálculo de I1=integral0^1 t e^-st,dt:
Tomando u=t, dv=e^-stdt
I1 = l[-t e^-stsr]0^1 + integral0^1 e^-sts,dt = -e^-ss + 1-e^-ss^2 = 1 - e^-s(s+1)s^2

Passo 5

Cálculo de I2=integral1^2(2-t)e^-st,dt:
Podemos reescrever
I2 = e^-2ss^2 + e^-sl(1s - 1s^2r)
e avaliar de 1 a 2, encontrando

Passo 6

Somando I1+I2 e agrupando termos obtém-se
F(s)=1s^2 - 2e^-ss^2 + e^-2ss^2
Isso também pode ser escrito como
F(s)=(1-e^-s)^2s^2

Passo 7

Finalmente,
Y(s)=F(s)s^2+1 = 1 - 2e^-s + e^-2ss^2(s^2+1) = (1 - e^-s)^2s^2(s^2+1)

Resposta

Y(s)=(1 - e^-s)^2s^2l(s^2+1r).

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