Encontre a equação diferencial satisfeita por Y(s)=Ly(t) dada a função f(t)= 0, & 0 <= t<3, -2, & 3 <= t<5, 2, & 5 <= t<7, 1, & t >= 7 .

Passo 1

O enunciado pede a equação em s satisfeita por Y(s)=Ly(t), onde a entrada y(t) é a função por partes dada. Vamos usar a definição de transformada de Laplace para cada trecho e, em seguida, reagrupar para obter a relação em s.

Passo 2

Como y(t)=f(t) é zero em [0,3), temos aquela parcela nula; depois, em [3,5), y(t)=-2, em [5,7), y(t)=2 e para t>=7, y(t)=1. Então
Y(s)=integral0^30,e^-stdt+integral3^5(-2)e^-stdt+integral5^72,e^-stdt+integral7^infty1,e^-stdt

Passo 3

Calculando cada integral:
integral3^5(-2)e^-stdt=-2e^-3s-e^-5ss,integral5^72e^-stdt=2e^-5s-e^-7ss,integral7^inftye^-stdt=e^-7ss

Passo 4

Somando tudo:
Y(s)=-2e^-3s-e^-5ss+2e^-5s-e^-7ss+e^-7ss =-2e^-3s+4e^-5s-e^-7ss

Passo 5

Multiplicando os dois lados por s e levando todos os termos para um lado, achamos a equação em s que Y(s) satisfaz:
s,Y(s)+2e^-3s-4e^-5s+e^-7s=0

Resposta

s,Y(s)+2e{-3s}-4e{-5s}+e^{-7s}=0

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