Ache R^prime(t), R^prime prime(t) e |R^prime(t)|.
ll a) R(t)=(t^2-3) i+(2 t+1) j & b) R(t)=e^2 t i+ln t j c) R(t)=cos 2 t i+t g t j & d) R(t)=raiz2 t+1 i+(t-1)^2 j e) R(t)=(t-1)t+1 i+(t-2)t j & f) R(t)=(e^t+1) i+(e^t-1) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para a gente encontrar a primeira derivada , a segunda derivada e a norma da primeira derivada da função vetorial . Isso tudo está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais e à noção de magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar R'(t) = ddt [(t^2 - 3) i + (2t + 1) j] = (2t) i + (2) j , que é a derivada de em relação a . Derivando cada componente:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos achar R''(t) = ddt [2t i + 2 j] = 2 i + 0 j = 2 i , que é a derivada de :
Portanto, .

Passo 4

Por último, vamos calcular a norma de |R'(t)| = raiz(2t)^2 + (2)^2 = raiz4t^2 + 4 = raiz4(t^2 + 1) = 2raizt^2 + 1 , que representa o tamanho ou módulo do vetor . A fórmula da norma é:
Então, .

Resposta

Para a parte a) do exercício:
R'(t) = 2t i + 2 j
R''(t) = 2 i
|R'(t)| = 2raizt^2 + 1

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