Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
ll a) R(t)=(t+1) i-t^2 j+(1-2 t) k & b) R(t)=sen 2 t i+cos 2 t j+2 raizt^3 k c) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j+e^t k & d) R(t)=2 t cos t i+5 t j+2 t sen t k

Passo 1

Resumo da questão: Para a função vetorial , precisamos encontrar o vetor tangente unitário. Vamos utilizar conceitos de derivadas vetoriais e normalização.

Passo 2

Calculamos a derivada de R'(t) = ddt[(t+1) i - t^2 j + (1-2t) k] = i - 2t j - 2 k em relação a :

Passo 3

Calculamos a magnitude de |R'(t)| = raiz1^2 + (-2t)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4t^2 + 4 = raiz5 + 4t^2 :

Passo 4

Normalizamos T(t) = R'(t)|R'(t)| = i - 2t j - 2 kraiz5 + 4t^2 para encontrar o vetor tangente unitário :

Passo 5

Resumo da questão: Para a função vetorial , precisamos encontrar o vetor tangente unitário.

Passo 6

Calculamos a derivada de R'(t) = ddt[sin(2t) i + cos(2t) j + 2 raizt^3 k] = 2cos(2t) i - 2sin(2t) j + 3t^1/2 k em relação a :

Passo 7

Calculamos a magnitude de |R'(t)| = raiz(2cos(2t))^2 + (-2sin(2t))^2 + (3t^1/2)^2 = raiz4cos^2(2t) + 4sin^2(2t) + 9t :
|R'(t)| = raiz4(cos^2(2t) + sin^2(2t)) + 9t = raiz4 + 9t
Simplificando:

Passo 8

Normalizamos T(t) = R'(t)|R'(t)| = 2cos(2t) i - 2sin(2t) j + 3t^1/2 kraiz4 + 9t para encontrar o vetor tangente unitário :

Passo 9

Resumo da questão: Para a função vetorial , precisamos encontrar o vetor tangente unitário.

Passo 10

Calculamos a derivada de R'(t) = ddt[e^t cos t i + e^t sin t j + e^t k] = e^t(-sin t + cos t) i + e^t(cos t + sin t) j + e^t k em relação a :

Passo 11

Calculamos a magnitude de |R'(t)| = raiz[e^t(-sin t + cos t)]^2 + [e^t(cos t + sin t)]^2 + (e^t)^2 :
|R'(t)| = e^t raiz(-sin t + cos t)^2 + (cos t + sin t)^2 + 1 = e^t raiz2 + 1 = e^t raiz3
Simplificando:

Passo 12

Normalizamos T(t) = R'(t)|R'(t)| = e^t(-sin t + cos t) i + e^t(cos t + sin t) j + e^t ke^t raiz3 = (-sin t + cos t) i + (cos t + sin t) j + kraiz3 para encontrar o vetor tangente unitário :

Passo 13

Resumo da questão: Para a função vetorial , precisamos encontrar o vetor tangente unitário.

Passo 14

Calculamos a derivada de R'(t) = ddt[2t cos t i + 5t j + 2t sin t k] = 2cos t i - 2t sin t i + 5 j + 2sin t k + 2t cos t k em relação a :

Passo 15

Simplificamos R'(t) = [2cos t - 2t sin t] i + 5 j + [2sin t + 2t cos t] k :
|R'(t)| = raiz[2cos t - 2t sin t]^2 + 5^2 + [2sin t + 2t cos t]^2
Calculamos a magnitude de :

Passo 16

Normalizamos T(t) = R'(t)|R'(t)| para encontrar o vetor tangente unitário :

Resposta

O vetor tangente unitário para a função d) é:
T(t) = [2cos t - 2t sin t] i + 5 j + [2sin t + 2t cos t] kraiz[2cos t - 2t sin t]^2 + 25 + [2sin t + 2t cos t]^2

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