Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t=0.
ll a) x=a cos t, y=a sen t & b) x=2+cos t, y=3+sen t c) x=2(cos t+t sen t), y=2(sen t-t cos t) & d) y=raizx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem as equações paramétricas da curva dadas por:
O objetivo aqui é encontrar novas equações paramétricas onde o parâmetro seja o comprimento de arco, denotado por s, medido a partir do ponto onde x = a cos t, y = a sen t . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de comprimento de arco e relacionar o parâmetro com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco s em termos de s = integral0^t raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt pode ser encontrado usando a fórmula:
Então, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 4

Sabemos que , então simplificando:
s = integral0^t raiza^2 cdot 1 , dt s = integral0^t a , dt s = a t
Isso nos diz que o comprimento de arco s é proporcional ao parâmetro , com a constante de proporcionalidade sendo .

Passo 5

Agora, precisamos expressar s = a t t = sa em função de :
Então, substituímos por nas equações originais para obter as equações paramétricas em termos de :

Passo 6

Substituindo:
Essas são as equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco x = a cos( sa ) y = a sen( sa ) .

Resposta

As equações paramétricas em função do comprimento de arco x = a cos( sa ), y = a sen( sa ) são:

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