- Ache o raio da base de um cone equilátero, sabendo que sua área lateral mede
.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache o raio da base de um cone equilátero, sabendo que sua área lateral mede
.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A área lateral do cone é
- O cone é equilátero (isso dá uma relação geométrica entre o raio
, a geratriz e a altura ).
O que se pede: encontrar o valor numérico do raioem centímetros.
Passo 2
Entender o que significa “cone equilátero” e a relação útil que disso decorre.
Quando cortamos um cone por um plano que contém o eixo, obtemos um triângulo isósceles chamado triângulo meridiano. Se o cone é equilátero, esse triângulo meridiano é um triângulo equilátero. Nesse triângulo: todos os três lados são iguais. No triângulo meridiano os lados iguais são as duas geratrizes e o outro lado é o diâmetro da base, isto é,
. Logo, para um cone equilátero vale a relação
Quando cortamos um cone por um plano que contém o eixo, obtemos um triângulo isósceles chamado triângulo meridiano. Se o cone é equilátero, esse triângulo meridiano é um triângulo equilátero. Nesse triângulo: todos os três lados são iguais. No triângulo meridiano os lados iguais são as duas geratrizes
Também, a altura
do cone é a altura do triângulo equilátero de lado
, portanto
mas aqui a relação que mais nos interessará é
Passo 3
Relembrar a fórmula da área lateral de um cone circular reto.
A área lateral (superfície lateral, sem a base) de um cone de raio da base e geratriz
é dada por
A área lateral (superfície lateral, sem a base) de um cone de raio da base
Explicação rápida do porquê: se “desenrolarmos” a superfície lateral obtemos um setor circular de raio
cuja área é
.
Passo 4
Aplicar os dados do problema na fórmula. Sabemos que
Podemos dividir ambos os lados por
(lembrando que
) para simplificar:
Passo 5
Usar a relação do cone equilátero
. Substituindo em
temos
Simplificando,
Passo 6
Resolver a equação para
. Dividindo ambos os lados por
:
Tomando a raiz quadrada positiva (o raio é positivo),
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): se
então
e a área lateral seria
, que bate com o enunciado. Tudo consistente — manda ver na prova com calma!