- (UFSM/1999) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular regular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10 cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8 cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de
Passo 1
O enunciado dá um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular regular. Diz que, dentro da pirâmide, a água “atinge uma altura de 8 cm” e “forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral”. Em seguida, essa água é colocada num cubo de aresta
cm. A pergunta é: qual a altura que a água atinge dentro do cubo?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A água dentro da pirâmide forma uma pequena pirâmide cuja altura (vertical) é
cm. - A pequena pirâmide tem apótema lateral (slant height) igual a
cm. - O cubo onde a água será colocada tem aresta igual a
cm. - Precisamos encontrar a altura da coluna de água no cubo (ou seja, a profundidade da água dentro do cubo), que vem da mesma quantidade de água coletada (mesmo volume).
Passo 2
Vamos entender as fórmulas que vamos usar. Primeiro, a fórmula do volume de uma pirâmide é:
onde
é o volume da pirâmide,
é a área da base e
é a altura perpendicular (vertical) da pirâmide. Vou usar essa fórmula para calcular o volume da pequena pirâmide que representa a água.
Passo 3
Precisamos determinar a área da base da pequena pirâmide. Como a pirâmide é quadrangular regular, a base é um quadrado de lado
. A área da base é:
Nosso objetivo agora é encontrar
usando a relação entre o apótema lateral, a altura e metade do lado da base.
Passo 4
Explicando o apótema lateral: em uma pirâmide quadrangular regular, cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura (do meio da aresta da base até o vértice/apex) é o apótema lateral
. Essa altura do triângulo lateral forma um triângulo retângulo com catetos: a altura vertical da pirâmide
e metade do lado da base
. Portanto vale a relação:
onde
é o apótema lateral,
é a altura da pirâmide e
é metade do lado da base.
Passo 5
Aplicando essa relação aos dados da pequena pirâmide (água): temos
e
. Substituindo em
fazemos as contas passo a passo:
Logo, o lado da base da pequena pirâmide é
cm.
Passo 6
Com o lado da base
cm, a área da base é
Agora usamos a fórmula do volume da pirâmide com
:
Calculemos:
Portanto, o volume de água é
cm
.
Passo 7
Quando essa água é colocada no cubo de aresta
cm, a base do cubo tem área
Se
é a altura da água no cubo, o volume no cubo é
Como o volume é o mesmo
cm
, temos
Portanto