1. (UFSM/1999) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular regular, para verificar o índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10 cm de aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8 cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de

Passo 1

O enunciado dá um pluviômetro na forma de pirâmide quadrangular regular. Diz que, dentro da pirâmide, a água “atinge uma altura de 8 cm” e “forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral”. Em seguida, essa água é colocada num cubo de aresta 10 cm. A pergunta é: qual a altura que a água atinge dentro do cubo?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A água dentro da pirâmide forma uma pequena pirâmide cuja altura (vertical) é 8 cm.
  • A pequena pirâmide tem apótema lateral (slant height) igual a 10 cm.
  • O cubo onde a água será colocada tem aresta igual a 10 cm.
  • Precisamos encontrar a altura da coluna de água no cubo (ou seja, a profundidade da água dentro do cubo), que vem da mesma quantidade de água coletada (mesmo volume).

Passo 2

Vamos entender as fórmulas que vamos usar. Primeiro, a fórmula do volume de uma pirâmide é:
V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h
onde V é o volume da pirâmide, A_b é a área da base e h é a altura perpendicular (vertical) da pirâmide. Vou usar essa fórmula para calcular o volume da pequena pirâmide que representa a água.

Passo 3

Precisamos determinar a área da base da pequena pirâmide. Como a pirâmide é quadrangular regular, a base é um quadrado de lado a. A área da base é:
A_b = a^2
Nosso objetivo agora é encontrar a usando a relação entre o apótema lateral, a altura e metade do lado da base.

Passo 4

Explicando o apótema lateral: em uma pirâmide quadrangular regular, cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura (do meio da aresta da base até o vértice/apex) é o apótema lateral l. Essa altura do triângulo lateral forma um triângulo retângulo com catetos: a altura vertical da pirâmide h e metade do lado da base \dfrac{a}{2}. Portanto vale a relação:
l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
onde l é o apótema lateral, h é a altura da pirâmide e \dfrac{a}{2} é metade do lado da base.

Passo 5

Aplicando essa relação aos dados da pequena pirâmide (água): temos l=10 e h=8. Substituindo em
10^2 = 8^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
fazemos as contas passo a passo:
100 = 64 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 100 - 64 = 36
\frac{a}{2} = 6
a = 12
Logo, o lado da base da pequena pirâmide é a=12 cm.

Passo 6

Com o lado da base a=12 cm, a área da base é
A_b = a^2 = 12^2 = 144\\ \text{cm}^2.
Agora usamos a fórmula do volume da pirâmide com h=8:
V = \frac{1}{3}\cdot A_b \cdot h = \frac{1}{3}\cdot 144 \cdot 8.
Calculemos:
\frac{1}{3}\cdot 144 = 48,
V = 48 \cdot 8 = 384\\ \text{cm}^3.
Portanto, o volume de água é 384 cm ^3.

Passo 7

Quando essa água é colocada no cubo de aresta 10 cm, a base do cubo tem área
A_{\text{base\_cubo}} = 10^2 = 100\\ \text{cm}^2.
Se h_c é a altura da água no cubo, o volume no cubo é
V = A_{\text{base\_cubo}} \cdot h_c = 100 \cdot h_c.
Como o volume é o mesmo V=384 cm ^3, temos
100 \cdot h_c = 384.
Portanto
h_c = \frac{384}{100} = 3,84\\ \text{cm}.

Resposta

3,84\\ \text{cm}

Exercícios relacionados