1. Ache o raio da base de um cone equilátero, sabendo que sua área lateral mede 128 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o raio da base de um cone equilátero, sabendo que sua área lateral mede 128\pi\\ \mathrm{cm}^2.”
Informações dadas:
  • A área lateral do cone é \,128\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • O cone é equilátero (isso dá uma relação geométrica entre o raio r, a geratriz l e a altura h).
    O que se pede: encontrar o valor numérico do raio r em centímetros.

Passo 2

Entender o que significa “cone equilátero” e a relação útil que disso decorre.
Quando cortamos um cone por um plano que contém o eixo, obtemos um triângulo isósceles chamado triângulo meridiano. Se o cone é equilátero, esse triângulo meridiano é um triângulo equilátero. Nesse triângulo: todos os três lados são iguais. No triângulo meridiano os lados iguais são as duas geratrizes l e o outro lado é o diâmetro da base, isto é, 2r. Logo, para um cone equilátero vale a relação
l = 2r.
Também, a altura h do cone é a altura do triângulo equilátero de lado 2r, portanto
h = \frac{2r\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3},
mas aqui a relação que mais nos interessará é \,l=2r.

Passo 3

Relembrar a fórmula da área lateral de um cone circular reto.
A área lateral (superfície lateral, sem a base) de um cone de raio da base r e geratriz l é dada por
A_{\text{lateral}}=\pi r l.
Explicação rápida do porquê: se “desenrolarmos” a superfície lateral obtemos um setor circular de raio l cuja área é \tfrac{1}{2} \cdot (\text{perímetro da base})\cdot l = \tfrac{1}{2}\cdot(2\pi r)\cdot l=\pi r lí.

Passo 4

Aplicar os dados do problema na fórmula. Sabemos que
A_{\text{lateral}}=\pi r l=128\pi.
Podemos dividir ambos os lados por \pi (lembrando que \pi\neq 0) para simplificar:
r l = 128.

Passo 5

Usar a relação do cone equilátero l=2r. Substituindo em \,r l = 128 temos
r\cdot(2r)=128.
Simplificando,
2r^{2}=128.

Passo 6

Resolver a equação para r. Dividindo ambos os lados por 2:
r^{2}=64.
Tomando a raiz quadrada positiva (o raio é positivo),
r=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): se r=8\\ \mathrm{cm} então l=2r=16\\ \mathrm{cm} e a área lateral seria \pi r l=\pi\cdot 8\cdot 16=128\pi\\ \mathrm{cm}^2, que bate com o enunciado. Tudo consistente — manda ver na prova com calma!

Resposta

8\\ \mathrm{cm}

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