Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
f(x)=2^{x} ; \quad a=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=2^{x} em torno de a=0. O método mais direto é usar a fórmula de Taylor–Maclaurin, que diz que
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n.
Também é conveniente lembrar que 2^{x}=e^{x\ln2} e usar a expansão conhecida de e^u em torno de u=0.

Passo 2

Reescrevendo
2^{x}=e^{x\ln2},
definimos u=x\ln2. Sabemos que
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}.

Passo 3

Substituindo u=x\ln2 na série de e^u temos
e^{x\ln2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln2)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln2)^{n}}{n!}\,x^{n}.
Logo
2^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln2)^{n}}{n!}\,x^{n}.

Passo 4

Para o raio de convergência R usamos o teste da razão: sejam a_{n}=(\ln2)^{n}/n!, então
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln2)^{n+1}/(n+1)!}{(\ln2)^{n}/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln2}{n+1}=0<1.
Como esse limite é 0, a série converge para todo x, ou seja,
R=\infty.

Resposta

2^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln2)^{n}}{n!}\,x^{n}, \quad \text{raio de convergência }R=\infty.ê

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