4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+17 y=0 \quad y(0)=-1 \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y'' + 4\,y' + 17\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 2. Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada trocando y por e^{rt}:
4\,r^2 + 4\,r + 17 = 0.

Passo 3

Resolvendo
4\,r^2 + 4\,r + 17 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot4\cdot17}}{2\cdot4} = \frac{-4 \pm \sqrt{-256}}{8} = -\tfrac12 \pm 2\,i.
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral é
y(t) = e^{-t/2}\bigl(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 4

Calculemos y'(t) aplicando a regra do produto e a cadeia:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[e^{-t/2}\bigr]\,(C_1\cos2t + C_2\sin2t) + e^{-t/2}\,\frac{d}{dt}(C_1\cos2t + C_2\sin2t),
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y'(t) = -\tfrac12\,e^{-t/2}(C_1\cos2t + C_2\sin2t) + e^{-t/2}(-2C_1\sin2t + 2C_2\cos2t).

Passo 5

Usando y(0)=-1:
y(0) = e^0\,(C_1\cdot1 + C_2\cdot0) = C_1 = -1.
Usando y'(0)=2:
y'(0) = -\tfrac12\,(C_1) + 2\,C_2 = -\tfrac12(-1) + 2C_2 = \tfrac12 + 2C_2 = 2 \;\Longrightarrow\; 2C_2 = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; C_2 = \tfrac{3}{4}.

Passo 6

Substituindo C_1=-1 e C_2=\tfrac34 em y(t), obtemos a solução particular.

Resposta

y(t) = e^{-t/2}\Bigl(-\cos(2t) + \tfrac{3}{4}\sin(2t)\Bigr).

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