Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
f(x)=\frac{1}{x} ; \quad a=1

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função f(x)=\frac{1}{x} como uma série de potências em torno de a=1 e, em seguida, determinar o raio de convergência dessa série. O conteúdo envolvido é o desenvolvimento em série geométrica, pois uma série de potências centrada em x=1 pode ser obtida a partir da forma \frac{1}{1+u}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=x-1, de modo que
f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{1+(x-1)}=\frac{1}{1+u}.
Agora nosso objetivo é expandir \frac{1}{1+u} em série de potências de u.

Passo 3

Recordamos a série geométrica para \frac{1}{1+u}, válida sempre que \lvert u\rvert<1:
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n.

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u=x-1. Logo,
\frac{1}{x}=\frac{1}{1+u} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,(x-1)^n.

Passo 5

O critério de convergência dessa série geométrica é \lvert u\rvert<1, isto é,
\lvert x-1\rvert<1.
Portanto, o raio de convergência é R=1.

Resposta

\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,(x-1)^n, \quad R=1.

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