Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto
e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função
como uma série de potências em torno de
e, em seguida, determinar o raio de convergência dessa série. O conteúdo envolvido é o desenvolvimento em série geométrica, pois uma série de potências centrada em
pode ser obtida a partir da forma
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
, de modo que
Agora nosso objetivo é expandir
em série de potências de
.
Passo 3
Recordamos a série geométrica para
, válida sempre que
:
Passo 4
Voltando à variável original
, temos
. Logo,
Passo 5
O critério de convergência dessa série geométrica é
, isto é,
Portanto, o raio de convergência é
.