Ache a segunda derivada ( f^{\prime \prime}(x) ) das funções seguintes:
f(x)=2\left(x^{2}-1\right)^{3}

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a segunda derivada f''(x) da função
f(x)=2\left(x^{2}-1\right)^{3}.
Informações dadas: a expressão da função acima. Não há mais dados ou condições extras.

Passo 2

Regras e conceitos que vamos usar (explicadinhos e curtinhos):
\text{Regra do fator constante: } \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),
onde c é constante e g é função.
\text{Regra da potência (caso simples): } \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.ê
\text{Regra da cadeia: } \frac{d}{dx}\big(h(x)^{n}\big)=n\,h(x)^{\,n-1}\cdot h'(x),
quando temos uma função composta h(x)^{n}.
\text{Regra do produto: } \frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Vou aplicar essas regras passo a passo. Se alguma regra não estiver clara, pensa nela assim: “derivo o externo e multiplico pela derivada do interno” (cadeia), e para produto somo as duas combinações (produto).

Passo 3

Primeira derivada f'(x): aplico primeiro a regra do fator constante e a cadeia à função \left(x^{2}-1\right)^{3}.
A derivada do externo (potência 3) dá 3\left(x^{2}-1\right)^{2} e a derivada do interno x^{2}-1 é 2x. Multiplicando pelo fator 2 que vem fora:
f'(x)=2\cdot 3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x.
Agora simplifico os fatores numéricos:
f'(x)=12x\left(x^{2}-1\right)^{2}.

Passo 4

Preparando para a segunda derivada: escrevo f'(x) como produto para usar a regra do produto:
f'(x)=\big(12x\big)\cdot\big(\left(x^{2}-1\right)^{2}\big).
Defino u(x)=12x e v(x)=\left(x^{2}-1\right)^{2}.
Calculo u'(x) e v'(x):
u'(x)=12.
Para v'(x) uso novamente a regra da cadeia: derivada do externo 2\left(x^{2}-1\right) vezes derivada do interno 2x:
v'(x)=2\left(x^{2}-1\right)\cdot 2x=4x\left(x^{2}-1\right).

Passo 5

Aplico a regra do produto:
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f''(x)=12\cdot\left(x^{2}-1\right)^{2}+12x\cdot 4x\left(x^{2}-1\right).
Simplifico o segundo termo ( 12x\cdot 4x=48x^{2}):
f''(x)=12\left(x^{2}-1\right)^{2}+48x^{2}\left(x^{2}-1\right).
Agora fatoro \!12\left(x^{2}-1\right) que é comum aos dois termos:
f''(x)=12\left(x^{2}-1\right)\Big(\left(x^{2}-1\right)+4x^{2}\Big).
Calculo a soma dentro do parêntese:
\left(x^{2}-1\right)+4x^{2}=5x^{2}-1.
Portanto:
f''(x)=12\left(x^{2}-1\right)\left(5x^{2}-1\right).
Se quiser conferir expandindo, os dois caminhos dão o mesmo polinômio:
12\left(x^{2}-1\right)^{2}+48x^{2}\left(x^{2}-1\right)=60x^{4}-72x^{2}+12,
e
12\left(x^{2}-1\right)\left(5x^{2}-1\right)=12\left(5x^{4}-6x^{2}+1\right)=60x^{4}-72x^{2}+12.
Tudo bate.

Resposta

f''(x)=12\left(x^{2}-1\right)\left(5x^{2}-1\right)

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