Ache a segunda derivada (
) das funções seguintes:
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a segunda derivada
da função
Informações dadas: a expressão da função acima. Não há mais dados ou condições extras.
Passo 2
Regras e conceitos que vamos usar (explicadinhos e curtinhos):
onde
é constante e
é função.
quando temos uma função composta
.
Vou aplicar essas regras passo a passo. Se alguma regra não estiver clara, pensa nela assim: “derivo o externo e multiplico pela derivada do interno” (cadeia), e para produto somo as duas combinações (produto).
Passo 3
Primeira derivada
: aplico primeiro a regra do fator constante e a cadeia à função
.
A derivada do externo (potência ) dá
e a derivada do interno
é
. Multiplicando pelo fator
que vem fora:
A derivada do externo (potência
Agora simplifico os fatores numéricos:
Passo 4
Preparando para a segunda derivada: escrevo
como produto para usar a regra do produto:
Defino
e
.
Calculo e
:
Calculo
Para
uso novamente a regra da cadeia: derivada do externo
vezes derivada do interno
:
Passo 5
Aplico a regra do produto:
Substituindo
:
Simplifico o segundo termo (
):
Agora fatoro
que é comum aos dois termos:
Calculo a soma dentro do parêntese:
Portanto:
Se quiser conferir expandindo, os dois caminhos dão o mesmo polinômio:
e
Tudo bate.