Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a(s) derivada(s) da função dada. Informações importantes que temos:
O objetivo final é achar
. Durante a resolução vou definir uma função interna
para facilitar os cálculos e também calcular
, pois isso ajuda a entender o processo passo a passo.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação intuitiva): a função
é composta — tem uma parte externa que é elevar ao quadrado e uma parte interna que é uma fração
. Quando temos uma composição, a forma direta é usar a regra da cadeia: derivamos a parte externa em função da parte interna e multiplicamos pela derivada da parte interna. Para derivar a parte interna, que é uma razão, usaremos a regra do quociente. Vou aplicar essas regras devagarinho, explicando cada passo.
Passo 3
Defino a função interna
Então podemos escrever
A regra da cadeia diz que, se
com
, então
Aplique a regra do potência (derivada de
):
. Logo
Passo 4
Agora vamos calcular
. Para isso usamos a regra do quociente: se
, então
No nosso caso tomamos
Derivando cada uma:
Aplicando a fórmula do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos:
e
Subtraindo:
Fatorando um
:
Portanto
Passo 6
Voltando para
, substituímos
e
:
Agora juntamos fatores e denominadores:
Pronto — essa é a forma simplificada da derivada.
Passo 7
Cheque rápido (opcional) para ter confiança: tomando
,
o que faz sentido numericamente e confirma a consistência do resultado.