Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
h(t)=\left(\frac{t^{2}}{t^{3}+2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a(s) derivada(s) da função dada. Informações importantes que temos:
h(t)=\left(\frac{t^{2}}{t^{3}+2}\right)^{2}.
O objetivo final é achar h'(t). Durante a resolução vou definir uma função interna u(t) para facilitar os cálculos e também calcular u'(t), pois isso ajuda a entender o processo passo a passo.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação intuitiva): a função h é composta — tem uma parte externa que é elevar ao quadrado e uma parte interna que é uma fração \dfrac{t^{2}}{t^{3}+2}. Quando temos uma composição, a forma direta é usar a regra da cadeia: derivamos a parte externa em função da parte interna e multiplicamos pela derivada da parte interna. Para derivar a parte interna, que é uma razão, usaremos a regra do quociente. Vou aplicar essas regras devagarinho, explicando cada passo.

Passo 3

Defino a função interna
u(t)=\frac{t^{2}}{t^{3}+2}.
Então podemos escrever
h(t)=(u(t))^{2}.
A regra da cadeia diz que, se h(t)=g(u(t)) com g(u)=u^{2}, então
h'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t).
Aplique a regra do potência (derivada de u^{2}): g'(u)=2u. Logo
h'(t)=2\,u(t)\,u'(t).

Passo 4

Agora vamos calcular u'(t). Para isso usamos a regra do quociente: se u(t)=\dfrac{v(t)}{w(t)}, então
u'(t)=\frac{v'(t)w(t)-v(t)w'(t)}{\big(w(t)\big)^{2}}.
No nosso caso tomamos
v(t)=t^{2},\qquad w(t)=t^{3}+2.
Derivando cada uma:
v'(t)=2t,\qquad w'(t)=3t^{2}.
Aplicando a fórmula do quociente:
u'(t)=\frac{(2t)(t^{3}+2)-t^{2}(3t^{2})}{(t^{3}+2)^{2}}.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos:
(2t)(t^{3}+2)=2t^{4}+4t
e
t^{2}(3t^{2})=3t^{4}.
Subtraindo:
2t^{4}+4t-3t^{4}=-t^{4}+4t.
Fatorando um t:
-t^{4}+4t=t(4-t^{3}).
Portanto
u'(t)=\frac{t(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{2}}.

Passo 6

Voltando para h'(t)=2\,u(t)\,u'(t), substituímos u(t) e u'(t):
h'(t)=2\cdot\frac{t^{2}}{t^{3}+2}\cdot\frac{t(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{2}}.
Agora juntamos fatores e denominadores:
h'(t)=\frac{2\,t^{2}\,t\,(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{3}}=\frac{2\,t^{3}(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{3}}.
Pronto — essa é a forma simplificada da derivada.

Passo 7

Cheque rápido (opcional) para ter confiança: tomando t=1,
h'(1)=\frac{2\cdot1^{3}(4-1^{3})}{(1^{3}+2)^{3}}=\frac{2\cdot1\cdot3}{3^{3}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9},
o que faz sentido numericamente e confirma a consistência do resultado.

Resposta

u'(t)=\dfrac{t(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{2}}\n h'(t)=\dfrac{2\,t^{3}(4-t^{3})}{(t^{3}+2)^{3}}

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