Ache T(t) e N(t)
cc a) R(t)=t^2 i+e^t j & b) R(t)=sen^3 t i+cos ^3 t j c) R(t)=raiz1+t^2 i+t j & d) R(t)=(1+t) i+ln cos t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para cada uma das funções vetoriais listadas de a) a d). Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente ao estudo de curvas e seus vetores associados. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial , normalizar para encontrar , depois derivar para achar .

Passo 2

Vamos começar pela parte a) onde R'(t) = ddt(t^2) i + ddt(e^t) j = 2t i + e^t j .
Primeiro, encontramos a derivada de |R'(t)| = raiz(2t)^2 + (e^t)^2 = raiz4t^2 + e^2t em relação a T(t) = R'(t)|R'(t)| = 2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t :
Agora, calculamos a magnitude de :
Com isso, o vetor tangente unitário é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário T'(t) = ddt(2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t) . Para isso, derivamos N(t) = T'(t)|T'(t)| em relação a :
Essa derivada pode ser um pouco trabalhosa, mas essencialmente usamos a regra do quociente e simplificamos. Depois de calcular , normalizamos para obter :

Resposta

Para a função a) T(t) = 2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t :
N(t) = T'(t)|T'(t)|
Os cálculos seguem de forma semelhante para as funções b), c) e d), onde para cada , calculamos , normalizamos para encontrar , derivamos para achar e, finalmente, normalizamos para obter .

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