Ache o comprimento do arco dado.
ll a) x=t^22+t, y=t^22-t, 0 <= t <= 1 & b) x=t^3, y=3 t^2,-2 <= t <= 0 c) R(t)=3 e^2 t i-4 e^2 t j, 0 <= t <= ln 5 & d) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j, 0 <= t <= 1 e) r=a theta^2, 0 <= theta <= pi & f) r=sen^2 theta2, 0 <= theta <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente precisa encontrar o comprimento do arco para as funções paramétricas dadas:
x = t^22 + t, y = t^22 - t, 0 <= t <= 1
Vamos usar o conceito de comprimento de arco em parametrização. Para isso, precisamos das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de dxdt = ddt(t^22 + t) = t + 1 e dydt = ddt(t^22 - t) = t - 1 :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para parametrizações:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Substituindo as derivadas que encontramos:
L = integral0^1 raiz(t + 1)^2 + (t - 1)^2 , dt

Passo 4

Vamos simplificar dentro da raiz quadrada:
(t + 1)^2 + (t - 1)^2 = t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 = 2t^2 + 2
Então, a integral fica:
L = integral0^1 raiz2t^2 + 2 , dt = integral0^1 raiz2(t^2 + 1) , dt = raiz2 integral0^1 raizt^2 + 1 , dt

Passo 5

A integral integral raizt^2 + 1 , dt = t2 raizt^2 + 1 + 12 ln ( t + raizt^2 + 1 ) + C pode ser resolvida usando a substituição trigonométrica ou fórmulas de integrais padrão. Sabemos que:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
L = raiz2 [ t2 raizt^2 + 1 + 12 ln ( t + raizt^2 + 1 ) ]0^1
Calculando em 12 raiz1 + 1 + 12 ln (1 + raiz2) = raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) :
0 + 12 ln (0 + 1) = 0
E em :

Passo 7

Portanto, o comprimento do arco é:
L = raiz2 ( raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) ) = 1 + raiz22 ln (1 + raiz2)

Resposta

O comprimento do arco é .

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