Ache a série de Fourier dos cossenos e a série de Fourier dos senos da função
f(x)=x \sin (x)
sobre o intervalo [0, \pi] .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede duas expansões de Fourier da mesma função f no intervalo [0,\pi]:
a série de Fourier dos cossenos (expansão em termos de \cos(nx), equivalente à extensão par da função para [- \pi,\pi]);
a série de Fourier dos senos (expansão em termos de \sin(nx), equivalente à extensão ímpar).
A função dada é \;f(x)=x\sin x\; para x\in[0,\pi].
Objetivo: encontrar explicitamente os coeficientes e escrever as séries (valores particulares quando algum coeficiente precisa de tratamento separado, por exemplo n=1).
Passo 2
Lembrete das fórmulas que vamos usar (sem pular etapas):
Série de cossenos (forma habitual em [0,\pi]):f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx),coma_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\qquad(n=0,1,2,\dots).Aqui a_0=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx.
Série de senos (forma habitual em [0,\pi]):f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx),comb_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\qquad(n=1,2,\dots).
Ferramentas de cálculo de integrais que usarei frequentemente:
Integração por partes: para u(x),v(x),\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Vou aplicar essas identidades e a integração por partes para calcular os coeficientes explicitamente.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes a_n (série de cossenos).
Começo do cálculo:a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin x\cos(nx)\,dx.
Uso a identidade produto-para-soma para \sin x\cos(nx):\sin x\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\bigr).Assima_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\Biggl(\int_{0}^{\pi} x\sin((n+1)x)\,dx-\int_{0}^{\pi} x\sin((n-1)x)\,dx\Biggr).Ou sejaa_n=\frac{1}{\pi}\bigl(I_{n+1}-I_{n-1}\bigr),onde colocoI_k:=\int_{0}^{\pi} x\sin(kx)\,dx\qquad(k\ge 0).
Passo 4
Calcular I_k=\int_{0}^{\pi} x\sin(kx)\,dx por integração por partes.
Tome u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k} (para k\neq0).
Aplicando integração por partes:I_k = \left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\frac{\cos(kx)}{k}\,dx.
A integral remanescente é \dfrac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi}=\dfrac{\sin(k\pi)-0}{k^2}=0, pois \sin(k\pi)=0 para inteiro k.
Assim, para k\ge 1,I_k = -\frac{\pi\cos(k\pi)}{k} - 0 = -\frac{\pi(-1)^k}{k}.
Observação: I_0=\int_0^\pi x\cdot 0\,dx=0 (caso separado, pois a fórmula acima tem divisão por k).
Passo 5
Substituir I_k em a_n e tratar casos especiais.
Para n\ge 2 (então n\pm1\ge1 e a fórmula vale):a_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n+1} -\bigl(-\frac{\pi(-1)^{\,n-1}}{n-1}\bigr)\Bigr).Simplificando:a_n = -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1}.Observando que (-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}, fatorando:a_n = (-1)^{n-1}\!\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right) =(-1)^{n-1}\frac{2}{n^2-1}.Portanto, para n\ge 2,a_n=\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2-1}.
Caso n=1: calcule diretamentea_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin x\cos x\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(2x)\,dx =\frac{1}{\pi}I_2.Usando I_2=-\dfrac{\pi(-1)^2}{2}=-\dfrac{\pi}{2}, temosa_1=-\frac{1}{2}.(Consistente com a fórmula geral que não é aplicável em n=1 por divisão por zero.)
Coeficiente constante a_0:a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx=\frac{2}{\pi}I_1.Com I_1=-\dfrac{\pi(-1)^1}{1}=\pi, obtemos a_0=\dfrac{2}{\pi}\cdot\pi=2. Logo a constante na série é a_0/2=1.
Passo 6
Resumo dos coeficientes a_n e escrita da série de cossenos.
Portanto, a série de Fourier dos cossenos (igual à expansão par de x\sin x em [-\pi,\pi]) fica:x\sin x = 1 -\frac{1}{2}\cos x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2-1}\cos(nx), \qquad x\in(0,\pi).
Uso a identidade produto-para-soma para \sin x\sin(nx):\sin x\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr).Assimb_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{0}^{\pi} x\cos((n-1)x)\,dx - \int_{0}^{\pi} x\cos((n+1)x)\,dx\Bigr) =\frac{1}{\pi}\bigl(J_{\,n-1}-J_{\,n+1}\bigr),onde definoJ_k:=\int_{0}^{\pi} x\cos(kx)\,dx.
Passo 8
Calcular J_k=\int_{0}^{\pi} x\cos(kx)\,dx.
Integração por partes: tome u=x, dv=\cos(kx)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k} (para k\neq0).
Caso k=0 (necessário às vezes): J_0=\int_0^\pi x\,dx=\dfrac{\pi^2}{2}. A fórmula acima não vale para k=0 por divisão por zero, por isso tratamos separadamente.
Passo 9
Substituir J_k e simplificar b_n, cuidando de casos especiais.
Para n\ge 2 (então n\pm1\ge1), usando J_k=\dfrac{(-1)^k-1}{k^2}:b_n=\frac{1}{\pi}\left(\frac{(-1)^{n-1}-1}{(n-1)^2}-\frac{(-1)^{n+1}-1}{(n+1)^2}\right).Observe que (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}=-(-1)^n. Colocando tudo junto e fatorando, chega-se ab_n=\frac{1+(-1)^n}{\pi}\Bigl(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n-1)^2}\Bigr).A presença do fator 1+(-1)^n mostra que b_n=0 para todo n ímpar maior que 1 (pois então 1+(-1)^n=0). Para n par (escrevendo n=2m) obtemos, após simplificação da diferença, a formab_n=-\frac{8n}{\pi(n^2-1)^2}\qquad\text{(para \(n\) par, \(n\ge 2\))}.(Detalhe do cálculo: a diferença \dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{1}{(n-1)^2}=-\dfrac{8m}{((2m-1)^2(2m+1)^2)} e substituindo n=2m dá a expressão acima.)
Caso n=1 (especial, porque aparece J_0):b_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin^2 x\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{0}^{\pi} x\,dx - \int_{0}^{\pi} x\cos(2x)\,dx\Bigr).Aqui \int_{0}^{\pi} x\,dx=\dfrac{\pi^2}{2} e \int_{0}^{\pi} x\cos(2x)\,dx=J_2=\dfrac{(-1)^2-1}{4}=0. Portantob_1=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\frac{\pi}{2}.
Passo 10
Resumo dos coeficientes b_n e escrita da série de senos.
Resumo:b_1=\frac{\pi}{2},\qquad b_n=0\quad\text{para odd }n\ge 3, \qquad b_n=-\frac{8n}{\pi(n^2-1)^2}\quad\text{para }n\text{ par }(\ge2).
Assim a série de Fourier dos senos (expansão ímpar de x\sin x em [- \pi,\pi]) éx\sin x = \frac{\pi}{2}\sin x + \sum_{\substack{n=2\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\Bigl(-\frac{8n}{\pi(n^2-1)^2}\Bigr)\sin(nx).Uma forma equivalente, escrevendo explicitamente que coeficientes para ímpares n\ge3 são zero, éx\sin x = \frac{\pi}{2}\sin x - \sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(2m)}{\pi\bigl((2m)^2-1\bigr)^2}\sin(2m x).
Resposta
Série de Fourier dos cossenos:
x\sin x = 1 -\frac{1}{2}\cos x + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2-1}\cos(nx),\qquad x\in(0,\pi).
Série de Fourier dos senos:
x\sin x = \frac{\pi}{2}\sin x + \sum_{\substack{n=2\\\ n\\ \text{par}}}^{\infty}\Bigl(-\frac{8n}{\pi(n^2-1)^2}\Bigr)\sin(nx) =\frac{\pi}{2}\sin x - \sum_{m=1}^{\infty}\frac{16 m}{\pi\bigl((2m)^2-1\bigr)^2}\sin(2m x).