Ache a série de Fourier dos cossenos e a série de Fourier dos senos da função f(x)=x^{2} sobre o intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} definida no intervalo [0,1] e pede duas coisas:
  • A série de Fourier dos cossenos (a série obtida estendendo f de maneira par em [-1,1] e usando só cossenos).
  • A série de Fourier dos senos (a série obtida estendendo f de maneira ímpar em [-1,1] e usando só senos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2} para 0\le x\le1.
  • O comprimento do intervalo é L=1, por isso os modos são \cos(n\pi x) e \sin(n\pi x) com n=1,2,\dots.
    As contas começam no próximo passo.

Passo 2

Fórmulas que vou usar (sem pular etapas):
  • Série em cossenos para função em [0,L]:
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
com
a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad a_{0}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
Aqui L=1, então as fórmulas viram
a_{n}=2\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx,\qquad a_{0}=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Calcule primeiro a_{0}:
a_{0}=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora preciso calcular a_{n}=2\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx para n\ge1.
Vou calcular a integral genérica
I(k)=\int x^{2}\cos(kx)\,dx,
com k=n\pi, usando integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv convenientemente.
Escolho u=x^{2} e dv=\cos(kx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Aplicando:
I(k)=x^{2}\cdot\frac{\sin(kx)}{k}-\int \frac{\sin(kx)}{k}\cdot 2x\,dx = \frac{x^{2}\sin(kx)}{k}-\frac{2}{k}\int x\sin(kx)\,dx.
Agora calcule J(k)=\int x\sin(kx)\,dx também por partes: escolha u=x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
J(k) = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{1}{k}\int \cos(kx)\,dx = -\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^{2}}.
Substituindo J(k) em I(k):
I(k)=\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}-\frac{2}{k}\left(-\frac{x\cos(kx)}{k}+\frac{\sin(kx)}{k^{2}}\right) =\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}+\frac{2x\cos(kx)}{k^{2}}-\frac{2\sin(kx)}{k^{3}}+C.

Passo 4

Avalio a integral definida de 0 a 1 com k=n\pi:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx =\left[\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}+\frac{2x\cos(kx)}{k^{2}}-\frac{2\sin(kx)}{k^{3}}\right]_{0}^{1}.
No extremo x=1 obtemos
\frac{\sin(k)}{k}+\frac{2\cos(k)}{k^{2}}-\frac{2\sin(k)}{k^{3}},
e em x=0 todos os termos são zero (pois \sin(0)=0 e há fator x nos outros termos). Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(k)}{k}+\frac{2\cos(k)}{k^{2}}-\frac{2\sin(k)}{k^{3}}, \qquad k=n\pi.
Agora uso os valores trigonométricos em k=n\pi: \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Assim a integral simplifica para
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx = \frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.
Portanto
a_{n}=2\cdot\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}},\qquad n\ge1.

Passo 5

Escrevendo a série de cossenos completa, com a_{0}/2=1/3, obtemos
x^{2}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi x), \qquad 0\le x\le1.
Isto é a série de Fourier dos cossenos (equivalente à expansão da extensão par de x^{2} em [-1,1]).

Passo 6

Agora série de senos: as fórmulas para expansão em senos em [0,L] são
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Com L=1 temos
b_{n}=2\int_{0}^{1} x^{2}\sin(n\pi x)\,dx.
Vamos calcular a integral K(k)=\int x^{2}\sin(kx)\,dx com k=n\pi, novamente por partes.
Escolho u=x^{2}, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
K(k)=-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}+\frac{2}{k}\int x\cos(kx)\,dx.
Calcule M(k)=\int x\cos(kx)\,dx por partes: u=x, dv=\cos(kx)\,dx du=dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Logo
M(k)=\frac{x\sin(kx)}{k}-\frac{1}{k}\int \sin(kx)\,dx =\frac{x\sin(kx)}{k}+\frac{\cos(kx)}{k^{2}}.
Substituindo em K(k):
K(k)=-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}+\frac{2}{k}\left(\frac{x\sin(kx)}{k}+\frac{\cos(kx)}{k^{2}}\right) =-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}+\frac{2x\sin(kx)}{k^{2}}+\frac{2\cos(kx)}{k^{3}}+C.

Passo 7

Avalio de 0 a 1 com k=n\pi:
\int_{0}^{1} x^{2}\sin(n\pi x)\,dx =\left[-\frac{x^{2}\cos(kx)}{k}+\frac{2x\sin(kx)}{k^{2}}+\frac{2\cos(kx)}{k^{3}}\right]_{0}^{1}.
No x=1
-\frac{\cos(k)}{k}+\frac{2\sin(k)}{k^{2}}+\frac{2\cos(k)}{k^{3}},
e em x=0 \dfrac{2\cos(0)}{k^{3}}=\dfrac{2}{k^{3}}. Subtraindo,
\int_{0}^{1} x^{2}\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{\cos(k)}{k}+\frac{2\sin(k)}{k^{2}}+\frac{2\cos(k)}{k^{3}}-\frac{2}{k^{3}}.
Usando \sin(k)=0 e \cos(k)=(-1)^{n} com k=n\pi, isto se simplifica para
\int_{0}^{1} x^{2}\sin(n\pi x)\,dx = (-1)^{n}\!\left(-\frac{1}{n\pi}+\frac{2}{n^{3}\pi^{3}}\right)-\frac{2}{n^{3}\pi^{3}}.
Finalmente
b_{n}=2\int_{0}^{1} x^{2}\sin(n\pi x)\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}.
(Se preferir separar por paridade: para n par ((-1)^{n}=1) tem b_{n}=-\dfrac{2}{n\pi}; para n ímpar ((-1)^{n}=-1) tem b_{n}=\dfrac{2}{n\pi}-\dfrac{8}{n^{3}\pi^{3}}.)

Passo 8

Escrevendo a série de senos completa:
x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\right)\sin(n\pi x), \qquad 0\le x\le1.

Resposta

Série dos cossenos:
x^{2}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi x).
Série dos senos:
x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)^{n}-1\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}\right)\sin(n\pi x).

Exercícios relacionados