Ache a série de Fourier dos cossenos e a série de Fourier dos senos da função
sobre o intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede duas coisas:
- A série de Fourier dos cossenos (a série obtida estendendo
de maneira par em e usando só cossenos). - A série de Fourier dos senos (a série obtida estendendo
de maneira ímpar em e usando só senos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
para . - O comprimento do intervalo é
, por isso os modos são e com .
As contas começam no próximo passo.
Passo 2
Fórmulas que vou usar (sem pular etapas):
- Série em cossenos para função em
:
com
Aqui
, então as fórmulas viram
Calcule primeiro
:
Logo o termo constante na série é
.
Passo 3
Agora preciso calcular
para
.
Vou calcular a integral genérica
Vou calcular a integral genérica
com
, usando integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
e
convenientemente.
Escolho
e
. Então
e
. Aplicando:
Agora calcule
também por partes: escolha
,
. Então
,
. Assim
Substituindo
em
:
Passo 4
Avalio a integral definida de
a
com
:
No extremo
obtemos
e em
todos os termos são zero (pois
e há fator
nos outros termos). Portanto
Agora uso os valores trigonométricos em
:
e
. Assim a integral simplifica para
Portanto
Passo 5
Escrevendo a série de cossenos completa, com
, obtemos
Isto é a série de Fourier dos cossenos (equivalente à expansão da extensão par de
em
).
Passo 6
Agora série de senos: as fórmulas para expansão em senos em
são
Com
temos
Vamos calcular a integral
com
, novamente por partes.
Escolho
,
. Então
,
. Assim
Calcule
por partes:
,
dá
,
. Logo
Substituindo em
:
Passo 7
Avalio de
a
com
:
No
dá
e em
dá
. Subtraindo,
Usando
e
com
, isto se simplifica para
Finalmente
(Se preferir separar por paridade: para
par
tem
; para
ímpar
tem
.)
Passo 8
Escrevendo a série de senos completa:
Resposta
Série dos cossenos:
Série dos senos: