Ache a série de Fourier da função f(x)=\cos (x) sobre o intervalo [0, \pi]. O que é a série de Fourier dos cossenos de f(x)=\cos (x) em [0, \pi] ?

Passo 1

O enunciado pede explicitamente a série de Fourier dos cossenos (série de cossenos, ou expansão em série de cossenos no intervalo) para a função f(x)=\cos(x) no intervalo [0,\pi].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos(x) definida para x\in[0,\pi].
  • Deve-se encontrar a expansão em série de cossenos (a forma padrão com termos \cos(nx), n=0,1,2,\dots).
O que é pedido:
  • Calcular os coeficientes da série de cossenos e escrever a série correspondente para f(x) em [0,\pi].

Passo 2

Vou escrever a forma padrão da série de cossenos e explicar o significado de cada termo.
A série de cossenos de uma função f em [0,\pi] tem a forma
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx).
Aqui:
  • \dfrac{a_0}{2} é o termo constante.
  • Cada a_n (para n\ge 1) multiplica \cos(nx).
    Os coeficientes são dados por
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad (n\ge 1).
Explicação do que essas fórmulas significam: a_n mede quanto da função f está “alinhado” com o modo \cos(nx). A constante 2/\pi vem da ortogonalidade dos cossenos no intervalo [0,\pi] com a norma apropriada.
Agora aplico essas fórmulas com f(x)=\cos(x).

Passo 3

Calcular a_0.
Usar a definição:
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,dx.
Integrando:
\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,dx=\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi}=\sin(\pi)-\sin(0)=0-0=0.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge 1 de forma geral.
Começamos com a fórmula
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx.
Para integrar o produto de cossenos, uso a identidade produto-para-soma:
\cos(x)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n+1)x)+\cos((n-1)x)\bigr).
Logo
\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx.
Agora uso que, para inteiro k\neq 0,
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(k\pi)-\sin(0)}{k}=0,
porque \sin(k\pi)=0 para todo inteiro k.
Observação importante: quando n\ge 2, os números n+1 e n-1 são inteiros não nulos, então ambas as integrais valem zero e o resultado é zero. Mas quando n=1, a segunda integral corresponde a k=n-1=0, isto é, \cos(0x)=1, e precisa ser tratada separadamente. Vou separar os casos n=1 e n\ge 2.

Passo 5

Caso n\ge 2.
Como argumentado, tanto \int_{0}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx quanto \int_{0}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx são zero, então
\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(nx)\,dx=0,
e portanto
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot 0 = 0\qquad\text{para }n\ge 2.

Passo 6

Caso n=1.
Aqui temos
a_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x)\cos(1\cdot x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^2(x)\,dx.
Para integrar \cos^2(x) uso a identidade
\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2x)\bigr).
Então
\int_{0}^{\pi}\cos^2(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx.
A primeira integral é \tfrac{1}{2}\cdot \pi. A segunda integral é zero porque \int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx=\bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\bigr]_0^\pi=0. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^2(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\pi.
Portanto
a_1=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}=1.

Passo 7

Resumo dos coeficientes:
  • a_0=0.
  • a_1=1.
  • a_n=0 para todo n\ge 2.
Substituindo na forma da série de cossenos,
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) =0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) =1\cdot\cos(x)+\sum_{n=2}^{\infty}0\cdot\cos(nx).
Ou seja, a série fica simplesmente
\cos(x)=\cos(x).

Passo 8

Interpretação final e observação didática rápida: a função já é um único modo de cosseno (o modo n=1), então a expansão em série de cossenos recupera exatamente esse modo com coeficiente 1 e todos os outros coeficientes nulos. Isso era de certa forma esperado: a base \{\cos(nx)\} contém \cos(x) como um dos elementos, então a expansão é trivialmente a própria função.

Resposta

\displaystyle f(x)=\cos(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx), com a_1=1 e a_n=0 para n\ne1.

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