Ache a série de Fourier da função f(x)=\cos (x) sobre o intervalo [0, \pi]. O que é a série de Fourier dos cossenos de f(x)=\cos (x) em [0, \pi] ?
Passo 1
O enunciado pede explicitamente a série de Fourier dos cossenos (série de cossenos, ou expansão em série de cossenos no intervalo) para a função f(x)=\cos(x) no intervalo [0,\pi].
Informações dadas:
A função é f(x)=\cos(x) definida para x\in[0,\pi].
Deve-se encontrar a expansão em série de cossenos (a forma padrão com termos \cos(nx), n=0,1,2,\dots).
O que é pedido:
Calcular os coeficientes da série de cossenos e escrever a série correspondente para f(x) em [0,\pi].
Passo 2
Vou escrever a forma padrão da série de cossenos e explicar o significado de cada termo.
A série de cossenos de uma função f em [0,\pi] tem a forma
Explicação do que essas fórmulas significam: a_n mede quanto da função f está “alinhado” com o modo \cos(nx). A constante 2/\pi vem da ortogonalidade dos cossenos no intervalo [0,\pi] com a norma apropriada.
Observação importante: quando n\ge 2, os números n+1 e n-1 são inteiros não nulos, então ambas as integrais valem zero e o resultado é zero. Mas quando n=1, a segunda integral corresponde a k=n-1=0, isto é, \cos(0x)=1, e precisa ser tratada separadamente. Vou separar os casos n=1 e n\ge 2.
Passo 5
Caso n\ge 2.
Como argumentado, tanto \int_{0}^{\pi}\cos((n+1)x)\,dx quanto \int_{0}^{\pi}\cos((n-1)x)\,dx são zero, então
A primeira integral é \tfrac{1}{2}\cdot \pi. A segunda integral é zero porque \int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx=\bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\bigr]_0^\pi=0. Assim
Interpretação final e observação didática rápida: a função já é um único modo de cosseno (o modo n=1), então a expansão em série de cossenos recupera exatamente esse modo com coeficiente 1 e todos os outros coeficientes nulos. Isso era de certa forma esperado: a base \{\cos(nx)\} contém \cos(x) como um dos elementos, então a expansão é trivialmente a própria função.
Resposta
\displaystyle f(x)=\cos(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx), com a_1=1 e a_n=0 para n\ne1.