Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
d^2 yd x^2-2 d yd x+y=3 e^2 x

Passo 1

Temos a equação diferencial não-homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 2dydx + y = 3e^2x,
que vamos resolver pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Para encontrar a solução da parte homogênea, consideramos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo, obtemos a raiz dupla r = 1, portanto a solução homogênea é
yh(x) = C1e^x + C2x e^x

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é 3e^2x, fazemos o ansatz
yp(x) = A e^2x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = 2A e^2x,
yp'' = 4A e^2x
Substituindo na equação original:
4A e^2x - 2,(2A e^2x) + A e^2x = 3e^2x,
o que dá
(4A - 4A + A)e^2x = A e^2x = 3e^2x
Logo A = 3.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C1e^x + C2x e^x + 3e^2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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