Ache a solução geral da equação diferencial de
ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem não homogênea:
. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Montamos a equação característica
e resolvemos:
As raízes são e
, logo a solução geral homogênea é
As raízes são
Passo 3
Para a parte particular, vemos que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2. Proponho
. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituímos na equação original:
$$y_p’’-3y_p’+2y_p=2A-3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C).
$$
Passo 5
Expandindo e agrupando termos em potências de
:
$$=2A-6Ax-3B+2Ax2+2Bx+2C=2Ax2+(-6A+2B)x+(2A-3B+2C).
$$
Passo 6
Igualamos coeficientes ao lado direito
:
Para :
⇒
.
Para :
⇒
⇒
.
Para termo constante: ⇒
⇒
⇒
.
Para
Para
Para termo constante:
Passo 7
Então a solução particular é
.
A solução geral da EDO é a soma de e
.
A solução geral da EDO é a soma de