Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=2 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de 2ª ordem não homogênea: y''-3y'+2y=2x^2-1. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y''-3y'+2y=0. Montamos a equação característica r^2-3r+2=0 e resolvemos:
As raízes são r1=1 e r2=2, logo a solução geral homogênea é
yh=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Para a parte particular, vemos que o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2. Proponho yp=Ax^2+Bx+C. Calculamos as derivadas:
yp'=2Ax+B,
yp''=2A

Passo 4

Substituímos na equação original:
$$y_p’’-3y_p’+2y_p=2A-3(2Ax+B)+2(Ax^2+Bx+C).
$$

Passo 5

Expandindo e agrupando termos em potências de x:
$$=2A-6Ax-3B+2Ax2+2Bx+2C=2Ax2+(-6A+2B)x+(2A-3B+2C).
$$

Passo 6

Igualamos coeficientes ao lado direito 2x^2-1=2x^2+0x-1:
Para x^2: 2A=2 A=1.
Para x: -6A+2B=0 -6+2B=0 B=3.
Para termo constante: 2A-3B+2C=-1 2-9+2C=-1 -7+2C=-1 C=3.

Passo 7

Então a solução particular é yp=x^2+3x+3.
A solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^2x+x^2+3x+3

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