Ache a solução geral da equação diferencial de
ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método de coeficientes a determinar. O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
. Montamos a equação característica
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da parte homogênea é
Passo 4
Para a solução particular, escolhemos o ansatz adequado ao termo não-homogêneo
:
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação original e agrupamos termos em
e
:
Agrupando, obtém-se
Passo 7
Igualando coeficientes, formamos o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
logo
.
Passo 8
A solução particular fica
Agora a solução geral é a soma de
e
.