Ache a solução geral da equação diferencial de 2^a ordem não-homogênea dada, pelo método de coeficientes a determinar.
y^prime prime+6 y^prime+25 y=2 cos t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + 6y' + 25y = 2 cos t usando o método de coeficientes a determinar. O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y'' + 6y' + 25y = 0. Montamos a equação característica
lambda^2 + 6lambda + 25 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos
lambda = -6 pm raiz6^2 - 4cdot1cdot252 = -6 pm raiz-642 = -3 pm 4i .

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -3 pm 4i, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = e^-3tl(C1 cos(4t) + C2 sin(4t)r)

Passo 4

Para a solução particular, escolhemos o ansatz adequado ao termo não-homogêneo 2cos t:
yp(t) = A cos t + B sin t

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = -A sin t + B cos t,
yp''(t) = -A cos t - B sin t

Passo 6

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original e agrupamos termos em cos t e sin t:
yp'' + 6yp' + 25yp = (-A cos t - B sin t) +6(-A sin t + B cos t) +25(A cos t + B sin t)
Agrupando, obtém-se
(24A + 6B)cos t + (-6A + 24B)sin t = 2cos t + 0sin t

Passo 7

Igualando coeficientes, formamos o sistema
24A + 6B = 2, -6A + 24B = 0
Da segunda equação vem B = A/4. Substituindo na primeira:
24A + 6A4 = 2 Rightarrow 24A + tfrac6A4 = 2 Rightarrow 25,5A = 2 Rightarrow A=tfrac451,
logo B=tfrac151.

Passo 8

A solução particular fica
yp(t) = 451cos t + 151sin t
Agora a solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(t) = e^-3tl(C1 cos(4t) + C2 sin(4t)r) + 451cos t + 151sin t

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