Ache a solução geral do sistema dado.
c d xd t=x+2 y d yd t=4 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral do sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
Conteúdo: Autovalores e autovetores de matrizes, solução geral via combinação linear dos modos próprios.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo o vetor X(t)=(x(t),y(t))^T e a matriz
A=1 & 24 & 3,
podemos escrever
dXdt=AX

Passo 3

Para encontrar as soluções próprias, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det1-lambda & 24 & 3-lambda=(1-lambda)(3-lambda)-8=lambda^2-4lambda-5
Igualando a zero: lambda^2-4lambda-5=0, obtemos
lambda=4pmraiz16+202=4pm62,
ou seja, lambda1=5 e lambda2=-1.

Passo 4

Para lambda1=5, resolvemos (A-5I)v=0:
-4 & 24 & -2v1v2=0
daí -4v1+2v2=0 implica v2=2v1. Escolhendo v1=1, um autovetor associado é v1=(1,2)^T.

Passo 5

Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0:
2 & 24 & 4v1v2=0
daí 2v1+2v2=0 implica v2=-v1. Escolhendo v1=1, um autovetor associado é v2=(1,-1)^T.

Passo 6

A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos modos próprios:
X(t)=C1e^5t12+C2e^-t1-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=C_{1}e{5t}+C_{2}e{-t},\quad y(t)=2C_{1}e{5t}-C_{2}e{-t}

Exercícios relacionados