Ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral do sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
Conteúdo: Autovalores e autovetores de matrizes, solução geral via combinação linear dos modos próprios.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Definindo o vetor
e a matriz
podemos escrever
Passo 3
Para encontrar as soluções próprias, calculamos o polinômio característico de
:
Igualando a zero:
, obtemos
ou seja,
e
.
Passo 4
Para
, resolvemos
:
daí
implica
. Escolhendo
, um autovetor associado é
.
Passo 5
Para
, resolvemos
:
daí
implica
. Escolhendo
, um autovetor associado é
.
Passo 6
A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos modos próprios:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
x(t)=C_{1}e{5t}+C_{2}e{-t},\quad y(t)=2C_{1}e{5t}-C_{2}e{-t}